Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
f = ^=- S А [(и- ?)1 + (u.E)'u]. (1)
Это соотношение можно рассматривать как уравнение движения
для u.
Чтобы решить уравнение (1), положим W==U-E и умножим уравнение скалярно на I. Тогда
dW/dx = —{SA/m) W9
и, следовательно,
W = [(2SAx/m) + K]-% (2)
где К — некоторая постоянная. Будем считать теперь W независимой переменной и, произведя в уравнении (1) подстановку dx = — dW m/S AW3, преобразуем его к виду
___1L _ Jt /о\
dW W ~ W* •
Это уравнение имеет интегрирующий множитель \/W и легко интегрируется:
-Ш (Vu)=Wi' (4)
dW \ W J
u = + (5)
где q — постоянная интегрирования. Из условий u • I-W и и • и = — 1 следует, что q-E=l и q-q = 0. Подставляя W из соотношения (2) в (5) и интегрируя, находим
х = + Ш (2ат + K?U ? - І <2ат + КУ'41 + хо.
где а = SA/m. Если постоянную интегрирования выбрать так, чтобы частица начинала двигаться из начала координат в поле излучения параллельно оси х, то
У = О 2 = 0.
{Приведенное решение заимствовано из книги [10], стр. 116-=118,) ГЛАВА 5
207-
Решение 5.13. Для находящегося на сфере наблюдателя доплеровское смещение спектра излучения абсолютно черного тела будет различным в разных направлениях. Поскольку для интенсивности излучения черного тела справедливо соотношение
Ijv3 = const (е^кТ -I)"1
и величина /v/v3 лоренц-инвариантна, то доплеровское смещение v0->-V приведет к изменению эффективной температуры T0-<-Т = = ^o(v/v0).
Какое доплеровское смещение измеряет сопутствующий наблюдатель, глядящий под углом Ф к направлению движения? Ответ на этот вопрос, приводимый во многих курсах теории относительности, нетрудно вывести из инвариантов. Пусть и —4-скорость сферы, U0 — 4-скорость системы покоя излучения и р —4-импульс фотона в системе единиц, в которой h = 1. Тогда
V = -U-P, V0 = U0-P и (1-и2)-'Л = у = —U-U0.
В системе покоя сферы
и = (1, О), U0 = (у, — V»), P = (v, \п),
где Я —единичный 3-вектор. Единичный пространственноподобный вектор в направлении v равен
(0 = — "о + ("о •») »
V ' М/ yv
(в этом нетрудно убедиться, подставив компоненты, вычисленные в системе покоя сферы). Аналогичным образом вектор (О, п) инвариантно можно записать в виде
(о,
поэтому угол испускания фотона в системе отсчета, связанной со сферой, определяется соотношением
cos ft = (О, Я), (о, = ^=VV.
4 ' 7VlfI/ yvv
Для получения последнего результата мы взяли скалярное произведение 4-векторов, записанных в инвариантной форме,и воспользовались тем, что V = — и-р и т. д. Разрешив это соотношение относительно v/v0, найдем
2L = 1_ = 1
T0 ~ v0 ~ у (1 + V cos Щ '
Наконец, равновесную температуру мы получим, усреднив температуру T по всем направлениям (Т (#)4)1/1 (поскольку количество энергии, излучаемой в единицу времени, равно в состоянии 208
РЕШЕНИЯ
равновесия количеству энергии, поглощаемой в единицу времени, то по закону Стефана — Больцмана оно пропорционально T4). Таким образом,
cos О = I
[Т_\* Г d (cos ?) J_ _1_ Г_1___1 1
\Т0/ ~ 2 } -^(l+fcos«)* у* бо L (1 — f)8 (l+fl)3J
4 ' cos O=-I
Травновесн = (TTt = (V2 (1 + f2/3)У'Т0.
Решение 5.14. Пусть (AE) — среднее количество энергии, теряемой фотоном при столкновениях. Из условий задачи известно, что E/mc21 и Tjmc21 (в системе единиц с k = 1), поэтому в разложении в двойной ряд
(AE) = тс2 [ttj 4-<х2 (Е/т) + сс3 (Т/т) +
+ а4 (E2/т2) +ос5 (ЕТ/т2)+ав (T2/т2) + ...]
необхс.'гмо удерживать лишь первые не обращающиеся в нуль чг.гул'.. При T = E = 0 ничего не происходит, и поэтому Oc1 = O. ~ ; 7' = О, ЕФ0 мы имеем обычное комптоновское рассеяние с сечением
dcr/dQ~(l +cos2d)
и переданной энергией
AE = (E2/,:i)( 1-cos О).
Поскольку сечение рассеяния симметрично относительно направления вперед и назад, то член с cos Ф при усреднении по углам выпадает и
(АЕ) = (Е2/т), T = 0.
Следовательно, <х2 = 0 и а4=1. При E = О, Тф0 фотон обладает нулевой энергией и обращается в вакуум, поэтому се3 = ав = 0.
Наконец, нам понадобится коэффициент а6. Рассмотрим мысленно разреженный поток фотонов (излучение абсолютно черного тела) с температурой, равной температуре газа:
d (число фотонов)/сШ = const х Е2е~Е1Т. Подставляя в разложение (1)
Oc1 = а, = а3 = а„ = 0, Oc4= 1
и налагая требование теплового равновесия
OO
$ (AE)E2e~E'TdE = 0, о
получаем
O = (37» (4Г+сс57), ГЛАВА 5
209-
или а5 =— 4, что позволяет записать соотношение (1) в окончательном виде:
(E) = (E2 — ATE)/тс2 +____
Решение 5.15. Воспользуемся для доказательства уравнениями движения (Tliv1V = 0) и запишем члены с первыми производными в дивергентном виде, а затем по теореме Гаусса преобразуем дивергенции в интегралы по поверхности, равные нулю вне системы. Обращаясь повторно к уравнениям движения, получаем
Т00,оо = - T0* м = - Tk0t9k = Tftmim4.
Умножив затем все члены этих равенств на X1Xi, преобразуем их к виду
(XiXfT00)m = XiXi (Tkm)tkm =
= (TkmX1Xf)tkn - 2 (XiXf)ikTkmim - Tkm(XiXf)tkm = = (TkmXiXi)tkm - 2 (XiTimtm + XiVmtm) - 2TiK
