Сборник задач по теории относительности - Лайтман А.
Скачать (прямая ссылка):
в силу чего
(n'n') = j, Til = Ky2V2IZ.
Поскольку известно, что каждая движущаяся частица обладает энергией ту, то плотность массы-энергии равна
,TlyM = T00 = Ky2(I) = Ky2.
Таким образом, к = mN/y и ненулевые компоненты тензора энер-гии-импульса равны
Tw = ту N, ТЧ = (my N v2 ?) Ь".
Для фотонов V-*-с, my-*-hv. Для холодной пыли и = 0, поэтому T00 = mN — единственная ненулевая компонента.
Решение 5.3. В системе покоя элемента жидкости и°=1, Ui = O, поэтому
= + и»-и\ 200
РЕШЕНИЯ
Поскольку это тензорное уравнение выполняется в системе покоя элемента жидкости, то оно должно быть верным и в любой другой системе.
Решение 5.4. Пространственные координаты мы всегда можем выбрать так, чтобы диагонализовать 3-мерный тензор энергии-импульса TiL Из соображений симметрии ясно, что из пространственных направлений выделено лишь то, которое совпадает с направлением вектора В, а выбор двух других ортогональных направлений произволен. Если выбрать B = Bez, то Txx = Tyy и Txy = Txz = Tyz = O. Поскольку в рассматриваемой задаче поле статично и нет переноса энергии, то T01 = O. Плотность энергии магнитного поля T00 = B2/8л.
Теперь нам необходимо вычислить «давления» Txx, Tyy, Т". Для этого мы рассмотрим ячейку поля с размерами Ах, Ay, Az и представим себе, что она расширяется адиабатически. (При адиабатическом расширении остается постоянным магнитный поток В Ax Ay, т. е. число «силовых линий» магнитного поля В в объеме.) Энергия поля, заключенного в ячейке, равна
t = (В2/8л) Ax Ay Az = (В Ax Ay)2 Дг/8я Д* А у. Зная энергию, нетрудно найти давления
і аШ
Txx = ¦
Tzz = ¦
Ду Дг d. (Ajc) 1 &Ш
= B2/Sn = Tyy, -B218л.
Д* Ду d (Дг)
Таким образом, тензор энергии-импульса имеет вид
1
?2 1
J1HV _
8л
о
о
1
1
Чтобы найти тензор энергии-импульса хаотического поля, выберем набор ортогональных осей и усредним поля В по направлениям X, у и z. Из доказанного выше ясно, что усреднение даст
"1
ГЛАВА 5
201-
где В — средняя напряженность поля. Выбрав любые другие ортогональные направления, мы получим тот же результат, потому что блок 3x3, стоящий в левом верхнем углу матрицы !Piv (единичная матрица 3x3), инвариантен относительно поворотов. Следовательно, полученный нами результат совпадает с результатом усреднения по всем направлениям.
Решение 5.5. Поскольку погонная плотность массы стержня равна fx, то Т00 = р,/Л. В системе покоя стержня поток энергии отсутствует, в силу чего T0i = O. Выберем ОСЬ Z вдоль оси стержня. Из соображений симметрии (см. задачу 5.4) ясно, что внедиаго-нальные компоненты тензора энергии-импульса Txy, Txz, Tyz (напряжения) должны быть равны нулю. Поскольку растяжение действует вдоль оси г, то Tzz = — F/А. В направлениях осей х и у напряжения не приложены (поэтому в направлениях этих осей нет переноса импульса) и Txx = Tyy = 0.
Решение 5.6. Предположим, что к веревке приложена сила, бесконечно малая по сравнению с усилием разрыва F. Если А — площадь поперечного сечения, а ось веревки совпадает с осью z, то компоненты тензора T в системе покоя стержня можно взять из задачи 5.5. Наблюдатель, движущийся со скоростью u = (v, yv), измерит плотность энергии
T0'0' = T^UrxUb = (у2/ A) [fx - Fvl].
Ясно, что наибольший шанс получить отрицательную компоненту T0'0' имеет наблюдатель, движущийся в направлении оси z со скоростью V —>-с. Чтобы компонента T0'0' была положительной, слабое условие энергии требует выполнения неравенства FСр., задающего верхний предел допустимой нагрузки. В физических единицах для хорошего стального троса это соответствует
Ij- < і с2 = рс2 = 7 X IO13 кГ - Вт/мм2,
в то время как реальное усилие разрыва составляет ^200 кГ — Вт/мм2. Расхождение по порядку величины в IO11-5 раз обусловлено тем, что прочность стали определяется в основном энергией молекулярных связей (< 1 эВ/атом), а не плотностью всей массы, сосредоточенной главным образом в ядрах (~5 х IO10 эВ).
Решение 5.7. Пусть S' — мгновенная система покоя элемента стержня (фиг. 11). В этой системе покоя отличны от нуля лишь компоненты T0'0'= р, Тх'х' = р. Переходя при помощи преобразования Лоренца в лабораторную систему отсчета, мы найдем следующие ненулевые компоненты:
Тхх = р, Tyy = va?2p, T00 = Y2P, T0y = Y2Pp, 202
РЕШЕНИЯ
где ? = о)/- и v = — ?2)~Vj. В сферических координатах отличны от нуля компоненты
Trr = P, TW = VTp/''2, T0tp = v2?p//", T00 = Y2P.
Чтобы найти р (г), воспользуемся радиальной компонентой: уравнения движения
О = TrV; v = Trr, r + Ww + Trr [In (- г =
= (TrrT2), rjT-2 - 7- Sin2 ftTW
и получим
(р/-2), ^ = T-Sin2 Ay2P2P-
Поскольку вся масса сосредоточена в материальных точках, плотность массы можно представить в виде
р = тб (г - а) б (cos ф) [б (ф - cat) + б (q> - at - л)]/г2.
Зная р, можно проинтегрировать уравнение движения с граничным условием р = 0 при г>а и получить р. После того как это
У
т
Л"
т
-а
\рх'я' -рО'О'
D-
Фиг. 11.
будет проделано, компоненты тензора энергии-импульса (в лабораторной системе отсчета, описываемой координатами t, г, Ф, ф) окажутся равными
