Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Тщательное исследование точной формулы (181) для поля давления
показывает, что приближение (194) параллельного пучка геометрической
акустики является почти точным на определенной длине пучка вблизи стенки,
далее следует область перехода к зависимости (187) для конического пучка,
в то время как на больших расстояниях дальнее поле почти точно
описывается приближением конического пучка. Заметим, что переходная
область - это область, в которой ширина пучка меняется от величины
порядка I до величины порядка гс!(а>1) (при таких порядках величин у и z
справедливы формулы (194) и (187) соответственно). В самой переходной
области расстояние z от стенки имеет порядок <al2/c.
В действительности оказывается, что геометрическая акустика дает хорошее
приближение при г<С (М2/с; по существу это та область, в которой фаза
полученного сигнала обладает достаточно четко выраженным минимумом, чтобы
разрушающая интерференция имела место вдали от него. Аналогично
аппроксимация (187) дальнего поля хороша там, где г (М2/с,
7*
100
1. Звуковые волны
в то время как область перераспределения амплитуды от функциональной
зависимости (194) с Д к виду (187) с Fx охватывает промежуточные значения
г порядка а>1г/с. Заметим, что такое перераспределение не вносит никаких
изменений в полный поток энергии. Из теоремы Парсеваля следует, что
оо ос ос ос
{ j l/iG/> z)\2dydz = (2n)-2 j f | Ft(M, N)\2dM dN (195)
- 00 -ос -ОС -ОО
(см. литературу по теории преобразований Фурье); потоки энергии в
параллельном пучке (194) и в коническом пучке (187) равны величине (1/2)
р0с, умноженной на левую и правую части этого равенства соответственно
(как мы получаем, например, при интегрировании формулы (189) для
определения интенсивности по всей площади поперечного сечения пучка).
1.13. Диссипация акустической энергии
Мы закончим эту главу изучением механизмов, которыми до сих пор
пренебрегали и которые способствуют диссипации акустической энергии в
тепло, а также остановимся на тех модификациях линейной теории, к которым
приводит учет этих механизмов. Рассмотрим прежде всего плоские бегущие
волны. Для обычных жидкостей мы найдем, что, хотя в случае таких волн,
соответствующих слышимым или даже ультразвуковым частотам, достигающим
нескольких мегагерц, потери энергии на каждой длине волны за счет
диссипации очень малы на расстояниях, много больших длины волны, они
приводят к экспоненциальному уменьшению амплитуды, называемому
затуханием.
Для того чтобы учесть диссипацию при помощи полученных результатов для
плоских волн, некоторые из положений теории, развитой в этой главе, нужно
несколько видоизменить. Например, внутри компактной области источников и
в окрестности этой области диссипация акустической энергии не может
оказывать значительное влияние на процессы генерирования и
распространения звука к порогу дальнего поля, так как он расположен на
расстоянии всего одной-двух длин волн. Однако такое дальнее поле, будь то
поле точечного источника или диполя, на каждой длине волны имеет
характеристики плоской волны, за исключением множителя г-1, учитывающего
постепенное распределение энергии по площади, увеличивающейся как г2. В
частности, относительные потери акустической энергии на длине волны
должны быть почти такими же, как и для
1.13. Диссипация акустической энергии
101
плоской волны, причем уменьшение амплитуды с расстоянием будет
описываться произведением двух членов: экспоненциальным членом,
учитывающим потери энергии так же, как в плоской волне, и множителем г-1,
который позволяет учесть распределение энергии по площади,
увеличивающейся как г2. Аналогично любые волны, рассматриваемые в
геометрической акустике, при распространении вдоль трубок лучей обладают
свойствами плоских волн на каждой длине волны, т. е. изменение их
амплитуд описывается произведением той же самой экспоненциальной функции
от расстояния и геометрического множителя, который учитывает
распределение акустической энергии по меняющейся площади поперечного
сечения трубки лучей.
Одним из механизмов диссипации энергии является вязкость, которая из-за
внутренних напряжений в жидкости при неравномерных движениях приводит к
различным потокам количества движения в различных направлениях. Эта
анизотропия выражается тензором напряжений рц, элементы которого
представляют собой скорость обусловленного напряжениями жидкости потока
.^-составляющей количества движения в направлении Xj через единичную
площадку в единицу времени.
В гидростатике или в случае пренебрежимо малой вязкости тензор напряжений
принимает изотропный вид
Ра = Р&и, (196)
одинаковый во всех направлениях. Для учета анизотропного потока
количества движения pti, обусловленного напряжениями в жидкости, и
конвективного потока количества движения pUiUj, как в уравнении (147),
необходимо применять нелинейные теории; таким образом, теория
генерирования звука турбулентным потоком, рассмотренная в разд. 1.10,
станет более точной, если в уравнении (147) и последующем определении Тij
