Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
полученным в одномерном случае соотношением (17) между избыточным
давлением и составляющей скорости в направлении распространения волны, т.
е. между величинами, произведение которых равно мощности на единицу
площади. Следовательно, при больших соа0/с сфера совершает работу над
внешней жидкостью с той же мощностью, с какой совершал бы ее плоский
поршень той же площади и с теми же флуктуациями скорости, создающими
одномерные
1. Звуковые волны
волны в прямой трубе. Иначе говоря, свойство, отмеченное в конце разд.
1.4, а именно меньшая эффективность трехмерного генерирования по
сравнению с одномерным, в этом высокочастотном пределе не имеет места.
Заметим, что на расстоянии г - а0 (равном длине вышеуказанного
наикратчайшего пути от поверхности тела до точки Р) от такого поршня
избыточное давление в прямой трубе будет принимать значение, даваемое
выражением (173), но без понижающего множителя а0/г. Заметим также, что
этот понижающий множитель в выражении для избыточного давления приводит к
множителю (а0/г)2 в выражении для интенсивности (82) (потока энергии на
единицу площади), а это можно интерпретировать как следствие того факта,
что энергия, поступившая через площадь поверхности сферы 4яа2,
распределяется на расстоянии г на большую площадь, равную 4лг2.
Для частного случая пульсирующей сферы мы кратко остановились на весьма
интересных результатах для высокочастотного предельного случая, наводящих
на мысль о важности "лутЩй звука", которые напоминают изучаемые в
геометрической оптике лучи света. Флуктуации давления в некоторой точке Р
передаются вдоль "луча", определяемого как кратчайший путь от поверхности
тела до точки Р. Если представить себе "трубку лучей", образованную
пучком таких лучей, идущих к точке Р и другим близким к ней точкам, то в
такой трубке движения поверхности сферы будут создавать те же самые
флуктуации давления, что и одномерные волны, генерируемые поршнем в
прямой трубе, но уменьшенные при г/а0 на множитель а0/г, необходимый для
того, чтобы поток энергии вдоль трубки лучей распределялся по площади
поперечного сечения, увеличивающейся как г2.
Таковы законы, совокупность которых составляет содержание так называемой
"геометрической акустики" (по аналогии с геометрической оптикой), и в
следующих главах мы часто будем заниматься выяснением условий их широкой
применимости. Здесь же, предположив на основе единственного примера, что,
по всей вероятности, законы геометрической акустики очень важны, мы
продолжим изучение вопроса, проверив их на примере, который отличается от
предыдущего в одном важном отношении.
В качестве второго примера рассмотрим излучение твердой сферой,
колеблющейся вдоль прямой. Если функция Ъ (t) описывает перемещение
центра сферы относительно фиксированного начального положения, то в
сферических координатах, в которых 0 представляет собой угол между
направлением перемещения и радиусом-вектором, граничное условие, соответ-
1.11. Излучение от сфер
91
ствующее формуле (166), запишется в виде
(Зф/Зг)г=О0 = 6(f) cos 0. (174)
Таким образом, скорость эквивалентного поршня будет различной в различных
точках сферы, а это обеспечивает более строгую проверку предположения,
что при больших соajc флуктуации давления в точке Р зависят от движения
поршня в ближайшей к Р точке на поверхности сферы.
Предыдущий пример, в котором граничное условие (166) удовлетворяется
точно, если поместить источник в центре сферы, позволяет предположить,
что граничному условию (174) можно удовлетворить, поместив там диполь.
Поле давления диполя, напряженность которого имеет величину G (t), а
направление совпадает с направлением перемещения тела, дается формулами
(92) и (90), и поэтому поле радиального ускорения будет описываться
формулой
- Ро1 др1дг = (^Ро)'1 (2г_3 G(t - г/с) +
+ 2r_2c_1 G(t - rlc) -\-r~lc~2G(t- г!с)] cos 0. (175)
Отсюда следует, что условие (174) выполняется точно, если G (t)
удовлетворяет уравнению
G(t - а0/с) + (а0/с) G (t - ajc) + (ajc)2 G(t - ajc) =
= 2лрOa30b (t). (176)
Интересно, что в случае выполнения условия компактности, т. е. при малых
со ajc, левая часть этого уравнения, согласно теореме Тейлора, будет
приближенно равна функции G (t) с погрешностью всего О (соа0/с)3, что
служит проверкой результата (114) для сферы, полученного приближенными
методами разд. 1.7. Можно удовлетворить соотношению (176) и в более общем
случае, заметив, что каждый член вида Ъг exp (г со?) в перемещении сферы
Ъ (t) порождает в G (t) член
2яр0< (ш)3 Ъ, exp (Ш) T+iaaT+Tmt^0lc^ • (177>
Основной интерес, однако, представляет поведение G (t) и соответствующее
поле давления при больших значениях со ajc. В этом предельном случае из
(176) получаем
G(t) = 4яр0а0с2& (t + ajc) (178)
и поле давления, определяемое по формуле (92), в которой при больших со
ajc главным является член дальнего поля при всех
92
1. Звуковые волны
г > а0, представляется как
р - ро = {a,Jг) РосЪ [f - (г - й0)/с] cos 0. (179)
