Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
процессов диссипации в жидкости следует обращаться к разд. 3.5.
Упражнения к главе 1
1. Используя одномерные решения (15) и (16), решить для волнового
уравнения (13) следующую задачу Коши: при t - 0 скорость и давление
жидкости заданы формулами
и = щ (х), v = w = 0, р - Ро = Pi (*);
показать, что в любой последующий момент времени t выполняется
соотношение
1 1
Р-Ро = - [Pi (x - ct) + p 1 (я-(-сг)]-(- - PjC iUi {x-ct) - Ui (x-\-ct)\,
и найти скорость жидкости.
112
1. Звуковые волны
2. Для жидкости, удовлетворяющей уравнению состояния Ван-дер-
Ваалъса
р = RTp (1 - Ьр)-1 - ар2,
показать, что удельная теплоемкость зависит только от температуры и что
скорость звука с определяется формулой
с2 = RT (1 - Ьр)~2 (1 + Яс-1) - 2яр.
[Постоянные а и Ь, введенные в уравнение состояния Ван-дер-Вааль-са,
учитывают два эффекта. Член Ър отражает увеличение переноса количества
движения через поверхность в жидкости вследствие того, что доля Ьр объема
недоступна для движения молекулы из-за близкодействующего поля сил
отталкивания, окружающего каждую из остальных молекул. И наоборот, член
ар2 отражает уменьшение давления при переходе через поверхность в
жидкости, обусловленное дальнодействующим полем сил притяжения между
двумя молекулами, расположенными по разные стороны от этой поверхности.]
3. Доказать, что из определения (77) следует равенство
(id/dt)V2 exp (ial) = (iw)1/2 exp (iat).
Показать, что линейный источник длины h с периодически меняющимся
массовым расходом q {t) = cos cot, расположенный между двумя
параллельными плоскостями и перпендикулярный к ним, генерирует среднюю
акустическую выходную мощность, равную
-i-Po^-icogf.
4. Показать, что в ближнем поле диполя с напряженностью G (f) =
= Н (г) мощность, передаваемая через поверхность сферы радиуса г с
центром в диполе, отличается от ее значения (104) в дальнем поле членом
Ж-тН')+2 (-т) "G ('
~г) + (-Н*-(-г)]}-
Какой физический смысл можно приписать величине, стоящей в фигурных
скобках?
5. Использовать понятия источников и диполей для решения общей
задачи Коши в случае распространения звука в неограниченной жидкости, а
именно положить, что при t = 0 скорость жидкости и давление заданы
формулами
U = Uj (х), р = ро + Рт (х),
и найти давление в последующие моменты времени. Заметим, что покоящуюся
жидкость с постоянным давлением р = р0 можно мгновенно привести в
состояние, описываемое указанными начальными данными, двумя способами:
(i) при помощи распределенного импульса p0u! на единицу объема,
приложенного в момент времени t = 0 (здесь под импульсом, конечно,
подразумевается очень боль-
Упражнения к главе 1
113
шая сила, действующая очень короткое время, так что интеграл от этой силы
по времени равен указанному импульсу); (ii) при помощи распределенного
мгновенного массового расхода с~^р1 на единицу объема; это задает
начальную величину р - ро (под мгновенным массовым расходом мы снова
понимаем очень большую скорость изменения массового расхода за очень
короткое время, так что интеграл от этой скорости по времени дает
суммарный массовый расход). Исходя из такого представления, получить
выражение р - ро в любой точке Р в любой момент времени t > 0. Показать,
что оно может быть получено осреднением величины
Pi + ct {dpi/dn - роcV *Uj)
по поверхности сферы радиуса ct с центром в точке Р (где д!дп означает
производную по внешней нормали к этой поверхности). Проверить, что
результат согласуется с выводами упражнения 1.
6. Показать, что малые пульсации пузырька газа в жидкости на каждом
периоде пульсации теряют в виде звука часть своей энергии, равную
2я (3pg0/ро)1/2 (cg/c);
здесь ро и с - невозмущенная плотность и скорость звука для жидкости, a
Pgo и tg - невозмущенная плотность и скорость звука для газа. (Для
пузырьков воздуха в воде при 20° С эта доля потерянной энергии составляет
0.095.)
7. Классическое решение (см. учебники по гидродинамике) задачи о схло-
пывании пустой сферической полости в жидкости дает
[а (г)]2 = РоРо1 Wo W W]-3- 1}.
Здесь a (t) - радиус полости в момент времени ?, а0 - значение радиуса до
начала движения, р0> ро - невозмущенные давление и плотность жидкости.
Показать, что полость действует как акустический источник, напряженность
которого можно записать в виде
яр0 {ag [а (г)]-2- 4а (г)},
так что она отрицательна до тех пор, пока а (<) не уменьшается до
величины 2_2/3а0, а затем становится положительной. [Заметим, однако, что
при тех чрезвычайно малых значениях а (t)/a0, при которых интенсивность
источника стремится к +°о, классическое решение неприменимо, поскольку в
нем пренебрегалось внутренним противодавлением, обусловленным сжатием
пара, которое непременно имеет место в реальной полости.]
8. Эоловы тона, создаваемые колеблющейся под действием ветра про-
волокой, связаны с флуктуациями подъемной силы (направленной под прямым
углом к направлению ветра), обусловленными чередующимся срывом вихрей с
верхней и нижней поверхностей проволоки. Предполагая, что диаметр
