Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь оно записано для р, хотя из (198) и (197) нетрудно показать, что их
и рп удовлетворяют такому же уравнению. Член вида р! (zj) exp (ia>t) в
разложении р, представляющий синусоидальные колебания с частотой со,
должен удовлетворять уравнению
(с2 + i""6) d2pjdx\ = - со2р1 (206)
с решениями, пропорциональными ехр (± ххх), где
х = ш (с2 -f io>8)~1/2 " (ш/с) |l-^-m6/c2j, (207)
что является хорошим приближением при малых значениях величины (204).
Верхний и нижний знаки относятся к волнам, бегущим влево и вправо
соответственно, и видно, что каждая волна теряет долю (204) своей энергии
на своей длине 2яс/со. Например, если волна бежит через i, = 0 в
невозмущенную жидкость, заполняющую полупространство хх > 0, то
Pi (xi) = Pi (0) exp ( - mxjc x1o)26/c3 j (208)
и распределение энергии пропорционально exp (-хха>2Ыс3).
Члены вида р! (хх) exp (iat) в р (хъ t) соответствуют решению
р(хи t) = (2nx{6r1/2 ci/2 j р (0, Т) exp [ - ^ ~] dT,
- оо
(209)
найденному методом Фурье для волны, бегущей в заполняющую
полупространство хх > 0 невозмущенную жидкость, с произвольной
зависимостью от времени р (0, t) при хх = 0. Это решение следует сравнить
с решением для плоской волны без диссипации р (0, t - хх/с).
Действительно, выражение (209) представляет собой осреднение по времени
величины р (0, Т) с весом, соответствующим гауссовскому распределению с
центром в Т = = t - хх/с и стандартным отклонением (ххЬ)У2с~ъ/2, так что
влияние диссипации должно постепенно сглаживать нерегулярности, подобные
локальным областям с большими градиентами, за счет осреднения величин на
этом увеличивающемся интервале. Здесь имеется близкая аналогия со
сглаживанием распределений за счет диффузии, и поэтому 8 называют
коэффициентом диффузии звука.
1.13. Диссипация акустической энергии
105
Для многих жидкостей справедлива линейная зависимость (204) относительных
потерь акустической энергии на длине волны от частоты со (во всяком
случае, когда эти потери остаются малыми, как здесь предполагалось, но не
настолько, чтобы их невозможно было измерить!). Для таких жидкостей
измеренный наклон кривой этой зависимости определяет величину б, так что^
можно предполагать, что формула (200) служит хорошей аппроксимацией в
рассматриваемом интервале частот. Такой способ определения б может
оказаться практически более полезным, чем любая теория, учитывающая
вклады в б от эффектов вязкости, теплопроводности и запаздывания при
установлении термодинамического равновесия, в частности потому, что
эффекты запаздывания не легко оценить количественно посредством иных
измерений. Тем не менее мы изложим теорию в общих чертах для частного
случая совершенного газа в основном для того, чтобы показать, каким
образом можно отделить эффекты вязкости и теплопроводности от эффектов
запаздывания, и понять, почему для некоторых газов диссипация энергии на
длине волны имеет более сложную зависимость от а" с "резонансными
пиками".
Запишем
б = б" + бс + бг, (210)
где индексы v, с и I означают вклады вязкости, теплопроводности и
запаздывания в изменения плотности р, а следовательно, и "среднего
давления"
Рт = ~з~ (Pll +^22 + РззД (211)
равного среднему значению нормальных напряжений в трех перпендикулярных
направлениях. Для совершенного газа эти напряжения, как уже отмечалось,
обусловлены потоком импульса при движении молекул относительно средней
скорости иi жидкости с собственными скоростями флуктуаций vt, что
определяет рп суммированием Mv\ на единицу объема, где М - масса
молекулы. Отсюда суммированием на единицу массы величины
A-M(vt + vl + vl), (212)
т. е. поступательной составляющей внутренней энергии Е на единицу массы,
получаем (3/2) (рт/р). Каждый раз, когда работа сжатия увеличивает Е на
величину (25) в ответ на увеличение плотности dp, эта поступательная
составляющая энергии (3/2) (рт/р) растет несколько быстрее, чем
равновесная часть Е, особенно при быстрых изменениях, так как для дру-
106
1. Звуковые волны
гих составляющих энергии (вращательная, колебательная) требуется больше
времени, чтобы отреагировать на эти изменения, и фаза рт опережает фазу
р.
Хотя уравнение (200) не дает способа разделения вкладов вязкости и
запаздывания в б при достижении термодинамического равновесия, очевидная
связь такого запаздывания со средним давлением рт позволяет предположить,
что в качестве истинно вязких эффектов следует рассматривать только
отклонения тензора напряжений от изотропного вида pm6i2. Считая, что
вязкость дает вклад только в рц и не вносит вклада в рт, очевидно, нужно
положить
Рп= - po&vduJdXi, Р22 = Рзз = - PoMmi/S#!, (213)
так как в силу симметрии р22 = р33.
Не очевидно, каким образом связать эти законы с обычным определением
вязкости р, которое в параллельном сдвиговом движении (и1(а:2), 0, 0)
дает касательное напряжение
Pli = Р 21 = рдщ!дх2, (214)
но мы можем построить сдвиговое движение из простого растяжения dujdxy,
добавляя к нему равное простое сжатие противоположного знака в
