Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
00 оо
Ft(M, N)= j f fi(Y, Z) exp (iMY + iNZ) dY dZ (188)
- CO -oo
представляет собой фурье-изображение функции fx (YXZ) (при двумерном
преобразовании Фурье). Заметим, что эти формулы включают и компактную
совокупность, так как в случае, когда со/с, а следовательно, и М, и N
малы по сравнению с 1II, функцию Рх в (187) и (188) можно приближенно
представить постоянной F1 (0, 0), задающей поле давления точечного
источника.
Однако в общем случае, флуктуации давления (187) в дальнем поле включают
в себя зависимость от направления, т. е. от ylr и z г, определяемую
преобразованием Фурье распределения скорости на стенке. Как и в случае
других дальних полей, можно использовать уравнение (81) для вывода
интенсивности (р - Po)2//(Poc)i чт0 приводит к акустической интенсивности
[р0со2/(8л2г2с)] \FX \щ/{гс), ш1(гс)] | 2, (189)
распределенной по направлениям и осредпенной по времени (при таком
осреднении квадраты синусов и косинусов сat заменяются на 1/2).
Сформулированные правила позволяют легко рассчитать набор мембран для
некоторых частных случаев. Так, для одной круговой мембраны радиуса а,
амплитуда колебаний скорости которой равна U, имеем Д = U или Д = 0 в
зависимости от того, какое из неравенств, Y2 + Z2 *< а2 или Y2 + Z2 > а2,
выполняется; тогда
F1 (М, N) = 2Una(M2 + N^^f^MM2 + TV2)1/2],
(190)
т. е. Ft выражается через функцию Бесселя Jx. График безразмерной
величины (Кла2)-1^ в зависимости от а {М2 + N2) 1/2 построен на рис. 18.
В соответствии с формулой (187) это определяет зависимость флуктуаций
давления от направления в виде функции от
к>а(у2 + z2)1,2lcr = (сml с) sin 0, (191)
где 0 = arc cos (x/r) - угол с осью х.
Заметим, что при ыа/с^. 3,83 (первый нуль функции Jt) амплитуда является
убывающей функцией 0 при приближении любым способом к 0 = л/2. Однако при
больших значениях соа!с амплитуда обращается в нуль при значении угла
7-01100
04 = arc sin [3,83 (соа/с)-1]
(192)
98
1. Звуковые волны
{Una2)"' Ft(M,N)
Рис. 18. Функция Fl7 заданная формулой (190) и определяющая распределение
давления (187) в дальнем поле колеблющейся с амплитудой скорости U
круговой мембраны радиуса а в большой плоской стенке.
и большая часть излучения заключается внутри конуса 0 "< 01. Таким
образом, одна мембрана громкоговорителя может излучать узкий конический
пучок звука, если ее радиус а достаточно велик по сравнению с с/ш = XI
(2л). Однако индикатриса излучения включает также "боковые лепестки" с 0
> 0Х и пиковыми амплитудами в 13, 7, 4% и т. д. от центральной пиковой
амплитуды.
Такие "боковые лепестки" характерны для большинства простых способов
генерирования узких пучков звука. Однако для технических целей может
потребоваться некоторая заданная индикатриса излучения, например без
боковых лепестков; выражение (187) показывает, как это сделать при помощи
набора мембран, аппроксимируя функцию распределения скорости обратным
преобразованием Фурье:
ОО со
/4(У, Z) = (2n)~2 J j Fi(M, N) exp ( -гМУ - iNZ) dM dN
- OO -CO
(193)
с желаемым распределением излучения по направлениям.
В общем случае, когда функция f1 (Y, Z) описывает колебания набора
мембран, покрывающих площадь с линейным размером Z, фурье-преобразование
Fx (М, N) должно стремиться к нулю при больших 1М и IN (см. литературу по
теории преобразований Фурье), и тогда выражение (187) означает, что при
больших <йИс излучение звука должно сосредоточиваться во все более узкой
конической области. Интересно сравнить эти результаты при больших <allc
для общего случая плоской
1.12. Излучение от плоских стенок
99
стенки с результатами, вытекающими из представлений геометрической
акустики, приведенных в разд. 1.11.
Из геометрической акустики следует, что при больших со Не флуктуации
давления в каждой точке Р передаются вдоль луча, который определяет
наикратчайший путь от плоской стенки до точки Р, т. е. вдоль проходящей
через точку нормали к стенке. Тогда геометрическая акустика предсказывает
параллельный пучок лучей, а действительный конический пучок отклоняется
от него на угол, который стремится к нулю при а>1!с ->оо.
С другой стороны, флуктуации давления, которые, согласно правилам
геометрической акустики, передаются вдоль луча у = Y, z = Z от "поршня",
движущегося со скоростью (186), а именно со скоростью
Poc/i (У> z) ехР tfw (t - гс/с)J, (194)
не имеют ничего общего с формулой (187) дальнего поля даже в предельном
случае больших и Не. Здесь не только отсутствует коэффициент затухания г-
1, учитывающий тог факт, что лучи не остаются параллельными, а конически
расходятся, но и распределение поперек пучка ошибочно описывается
функцией f1 вместо ее фурье-преобразования
Мы опускаем здесь подробное обсуждение главной из упомянутых трудностей,
состоящей в том, что, когда геометрическая акустика предсказывает
параллельный пучок, в дальнем поле ее выводы необходимо модифицировать.
Можно, однако, вкратце указать, как разрешается это кажущееся
противоречие между двумя теориями.
