Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
излучению от сфер, следовательно, состоит в том, чтобы выяснить, какие
изменения в излучении звука происходят на слишком высоких частотах, когда
условие компактности не удовлетворяется, а также предположить, что на
очень высоких частотах (удовлетворяющих противоположному условию со
знаком^ вместо <§;) возможно повое упрощение совершенно другого типа,
которое играет важную роль в следующих главах этой книги.
Изучим прежде всего звук, генерируемый в том случае, когда сферическое
тело совершает радиальные колебания. Предположим, что радиус сферы а
совершает малые колебания около невозмущенного значения а0, подобно
сферическим пузырькам, рассмотренным в разд. 1.6, но теперь мы уже не
будем предполагать, что сфера компактна.
Особая простота сферической формы тела в рассматриваемом случае
радиальных колебаний вытекает из того очевидного факта, что звуковое поле
должно быть сферически-симметрич-ным относительно центра и,
следовательно, может быть описано сферически-симметричным потенциалом
скорости вида (63), где г - расстояние от центра сферы. Рассуждения,
проведенные после этой формулы, показывают, что такой потенциал, если в
него включить только бегущие от источника волны, всегда можно записать в
виде (69), соответствующем точечному источнику, расположенному в центре
сферы.
Здесь мы не предполагаем, что такой точечный источник с объемным расходом
т (t) "действительно находится" в центре
88
1. Звуковые волны
сферического тела, а предполагаем только, что жидкость вне сферы должна
двигаться точно так же, как если бы такой точечный источник излучал в
однородной жидкости. Искомое значение функции тп (t) может быть найдено
из граничного условия, выражающего равенство радиальной скорости дф
1дг жидкости и радиальной скорости а (t) поверхности тела при
г = а.
В линейной теории это граничное условие записывается как
(<Эф<idr)r==Bo = a(t). (166)
поскольку любая разница в значениях дц>!дг при г = а и г = а0 меньше, чем
| а - а0 | max | д2фIdr2 |, (167)
и ею можно пренебречь как произведением малых величин.
Из соотношения (70) следует, что граничное условие (166) можно записать в
виде дифференциального уравнения
m (t - а0/с) + (а0/с) m (t - а0/с) = 4ла\а (t) = V (() (168)
для функции т (t), включающего либо заданную функцию а (t), которая
описывает малые изменения радиуса сферы, либо связанную с ней функцию V
(t), описывающую относительные изменения объема сферы по сравнению с его
невозмущенным значением (4/3) яа^. Из проведенных после соотношения (70)
рассуждений следует, что в случае выполнения условия акустической
компактности левая часть уравнения (168) с хорошей степенью приближения
представляется функцией т (t), так что искомая величина т. (t) объемного
расхода источника
будет близка к скорости изменения объема тела V (t), что, конечно, верно
для любого компактного тела (соответствующая
напряженность источника равна р0У (t), как в (105)).
Если условие компактности не выполняется, то точное значение т, (t) как
решение уравнения (168) достаточно легко найти только для сфер. Это
решение получается при помощи интегрирующего множителя exp (ct/a") и
имеет вид
t
m(t) = (c/a0) J V (T-j-a0/c) exp [с (T - t)fa0]dT. (169)
- оо
Другое решение уравнения (168) можно найти, заметив, что каждый член Vx
exp (ia>t) в V (t) порождает в m (t) член
tcoFt exp (mt) •
(170)
1.11. Излучение от сфер
89
Оба решения показывают, что если V (t) меняется очень
медленно, то т (t) остается близким к V (t), например вследствие того,
что при выполнении условия компактности (соа0/с мало) дробь в (170) можно
представить как 1 - (1/2) (соа0/с)2 + + О (соа0/с)3. Однако если соа0/с
превышает, скажем, 0,6, то ошибка становится едва ли допустимой.
Оба решения приводят также к другому интересному приближенному выражению,
справедливому при больших значениях (оа0/с (скажем, 6 и более); тогда
т (t) " (с/а0) V(t + а0/с). (171)
Мы получаем эту приближенную формулу, пренебрегая в знаменателе выражения
(170) единицей или заменяя в (169) (сравнительно) медленно меняющееся
экспоненциальное выражение единицей.
Высокочастотное приближение (171) имеет интересные приложения. Давление в
некоторой точке Р, находящейся на расстоянии г от центра, представляется
(при помощи формул (71) и (72) для точечного источника) в виде
Р - Ро = (РоС/Яо) V[t- (г - а0)/с]/(4лг), (172)
где время запаздывания (г - а0)/с представляет собой время, необходимое
для прихода в точку Р сигнала из ближайшей точки на сфере. Отсюда
вытекает (неожиданно, но верно), что при достаточно больших значениях
соajc флуктуации давления в точке Р происходят главным образом от
сигналов, прошедших наикратчайший путь от поверхности сферы к точке Р.
Далее, если в (172) заменить V(t) на 4ла2а(?), то получится выражение
Р - Po = ("o/r) р0ca[t-(r - a0)/c], (173)
которое интересным образом перекликается с формулой из одномерной теории.
На поверхности сферы г = а0 выражение (173) в точности совпадает с
