Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
анализируя генерирование звука в жидкости, заполняющей область х > 0, в
том случае, когда часть ограничивающей ее бесконечной плоской стенки х =
0 совершает заданные малые перемещения. Они задаются как такие
перемещения, которые заставляют точку стенки с координатами (О, У, Z) в
невозмущенном состоянии двигаться с нормальной скоростью / (Y, Z, t) в
положительном направлении оси х в момент времени t; в дальнейшем мы
предположим, что вне конечной колеблющейся части стенки, линейный размер
которой равен I, скорость / пренебрежимо мала.
В рассматриваемом случае плоской стенки результирующее звуковое поле
можно точно (в рамках линейной теории) представить для всех частот в виде
линейной комбинации полей точечных источников, таких, что каждый элемент
плоскости dYdZ генерирует суммарный массовый расход
q (t) = 2р0/ (У, Z, t) dYdZ. (180)
Как и в разд. 1.11, где звуковое поле вне пульсирующей сферы определялось
как часть более сильного звукового поля точеч-
1.12. Излучение от плоских стенок
95
ного источника в покоящейся жидкости, здесь мы будем определять звуковое
поле колеблющейся плоскости как часть (часть х > 0) поля с распределением
(180) по всей плоскости (х = 0) источников, излучающих в однородную
жидкость.
В такой безграничной жидкости в силу симметрии расход массы должен быть
поровну разделен между частью х > 0 и частью х < 0, которая должна
поэтому иметь массовый расход на единицу площади, равный р0/.
Следовательно, нормальная скорость жидкости вблизи стенки в части х > 0
будет включать:
(i) вклад / (Y, Z, t), обусловленный массовым расходом от ближайших
источников, но
(ii) нулевой вклад от удаленных источников, которые создают лишь
касательное движение жидкости вблизи плоской стенки.
Из утверждений (i) и (ii) следует, что звуковое поле с распределением
(180) точечных источников удовлетворяет необходимому граничному условию
для нормальной скорости, хотя следует отметить, что такой вывод типичен
только для плоских стенок, так как он зависит от утверждения (ii).
Распределение (180) точечных источников с полями (71) генерирует в точке
(х, у, z) избыточное давление
оо оо
Р - Ро= j J (2р0/(Y, Z, t - rs/c)/(Anrs)]dYdZ, (181)
- ОО -ОО
где rs - расстояние до точки х, у, z от источника, расположенного в точке
(0, Y, Z):
rs = [хъ + (у - Y)2 + (z - Z)2]1/2. (182)
Хотя пределы интегрирования в (181) бесконечны, мы будем
рассматривать излучение только от конечных областей, для
которых функция / становится пренебрежимо малой, когда величина Y или Z
превышает масштаб длины I.
Интегралы вида (181) могут оказаться весьма трудными для точного
вычисления, но они существенно упрощаются в дальнем поле, когда
расстояние
г - (х2 + у2 + z2)1/2 (183)
от начала координат настолько велико, что в разложений (181) по убывающим
степеням г можно учитывать только главный член (пропорциональный г-1).
Это определяет главный член (пропорциональный г~2) в аналогичном
разложении интенсивности, а следовательно, как акустическую мощность, так
и ее-диаграмму направленности вдали от области источников.
96
1. Звуковые волны
Заметим прежде всего, что
rs = г - (y/r) Y - (z/r) Z + O (1 --1)
(184)
при г ->- оо в заданном направлении (т. е. с заданными отношениями у/г и
z/r). Следовательно, соотношение (181) можно переписать как
т. е. во всех дальних полях переменное расстояние rs от источника в
знаменателе (181) можно заменить фиксированным с ошибкой О (г-2), но для
получения ошибки того же порядка для времени запаздывания rjc нужно брать
следующее приближение.
Действительно, при фиксированном г изменения времени запаздывания в (185)
имеют порядок Не. Только в том случае, когда выполнено условие
компактности (91), можно пренебречь
изменением / на интервале времени такого порядка и брать все
значения / при одном и том же значении времени t - г/с. Тогда, как и в
общей теории в разд. 1.6, все поле является полем единственного источника
в начале координат, напряженность которого складывается из напряженностей
всех источников и в данном случае равна удвоенной скорости изменения
массового расхода от плоскости.
Заметим, что напряженность такого источника, соответствующего компактной
совокупности мембран, вмонтированных в плоскую стенку больших размеров,
вдвое больше, чем в случае, когда та же совокупность устанавливается на
поверхности компактного тела. Интенсивность (82) дальнего поля будет
вчетверо больше, хотя телесный угол здесь равен 2л вместо 4л;
соответственно при установке мембран на таком большом плоском экране их
выходная мощность просто удваивается.
Чтобы определить излучение от некомпактной совокупности мембран, заметим,
что каждый член вида
в распределении / (Y, Z, t) нормальной скорости порождает в выражении
давления (185) для дальнего поля член
) dY dZ+O (г"2), (185)
- ОО - оо
fx (Y, Z) exp (ia>t)
(186)
[р0ш/ (2лг)] Fx [а>у/(гс), ш/(гс)] exp [iсо (t - г/с)], (187)
1.12. Излучение от плоских стенок
97
где
