Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
проволоки компактен, а ее длина 21 некомпактна, найти результирующее
акустическое поле в случае, когда собственные колебания проволоки
находятся в фазе
8-01100
114
1. Звуковые волны
с флуктуациями подъемной силы, равной Lx cos соt на единицу длины
проволоки. Считая, что подъемная сила действует в направлении у, а
проволока расположена между точками (0, 0, -I) и (О, О, I), показать, что
на больших расстояниях
г=уг х1 -j- у2 -J- г2
от средней точки проволоки поле давления задается формулой р - Ро = -
\Liyz~x sin (соzl/(rc))\ (2яг)-1 sin [со (t - r/c)].
В каком направлении амплитуда имеет наибольшее значение? В каких
направлениях она обращается в нуль? (Последние ограничивают "боковые
лепестки", подобные тем, о которых упоминалось в разд. 1.12.1
9. Показать, что компактная сфера, средняя сжимаемость которой К может
быть больше (но не во много раз) или меньше сжимаемости Polc% окружающей
жидкости, рассеивает плоскую волну в большей степени назад, чем вперед,
тогда и только тогда, когда избыточная средняя сжимаемость сферы и ее
избыточная средняя плотность имеют противоположные знаки. Каким образом
нарушается это заключение, если Кр0с% очень велико?
10. Обычно сирены работают при помощи пара. Если такая жидкость
с плотностью ps истекает с колеблющимся расходом в атмосферу, имеющую
иную плотность р0, то результирующую акустическую отдачу (для умеренных
скоростей потока) можно вычислить двумя различными способами. Во-первых,
можно считать, что переменный объемный расход т (г) выталкивает
окружающий воздух с тем же самым объемным расходом, и тогда дальнее поле
можно вычислить с помощью методов разд. 1.6 как дальнее поле
акустического источника напряженности р0т (t). Во-вторых, используя идеи
разд. 1.10, можно рассматривать дальнее поле как дальнее
поле точечного источника напряженности psm (t), равной скорости изменения
массового расхода сирены, плюс дальнее поле распределения квадруполей
напряженности (150) на единицу объема. Показать, что для умеренных
скоростей потока дальнее поле распределения таких квадруполей совпадает с
дальним полем распределения точечных источников напряженности -d2p/di2 на
единицу объема, суммарная напряженность которых (р0 - ps)m(t) согласуется
с результатами указанных двух способов вычисления.
11. Пусть жесткая сфера совершает малые колебания, при которых ее
центр движется по одной и той же прямой, смещаясь на величину Ъ (t);
показать, что напряженность эквивалентного диполя G (f) определяется
общей формулой
t
Anp0cal | Ь (T + aJc) exp [с (Г - t)/a0] sin [с (г - Г)/о0] dT.
- ОО
Заметим, что в случае, когда b (t) меняется медленно на временном
масштабе а0/с, это выражение можно свести к приближенному риду
ажнения к главе 1
115
G (t) = 2jtp0ajj Ь (г), поскольку распределение ехр [с (Т - *)/а0] sin [с
(t - ^Г)/а0]
имеет центр при Т - t - а0/с и дает интегральную величину яо/(2с).
Пусть в случае излучения звука от плоской стенки распределение (186)
нормальной скорости поверхности существенно только при У2 -j- Z2 < Р.
Показать, что на расстояниях г от начала координат, больших по сравнению
с I, но не обязательно больших по сравнению с (?>Р/с, результирующее
звуковое поле хорошо аппроксимируется выражением (187), если Fj (М, N)
интерпретировать как фурье-преобразование не функции /х (У, Z), а
выражения
h (У, У) exp [ i- m (Y2 + Z2)/(cr) J .
Это согласуется с предыдущим определением (188), если г действительно
велико по сравнению с аР/с.
С другой стороны, если г мало по сравнению с со Р/с, можно записать новое
значение F-i (с?>у/(гс), coz/(rc)) как
СО СО
j j /х(У, Z) exp [гф (У, Z)]dYdZ,
- OO-OO
где фаза
гНУ, Z) - [со/(сг)] (уУ + zZ g- У2 ^-Z2)
сильно меняется в области У2 -f- Z2 < Р и стационарна при У = = у, Z = z.
При этих условиях двойной интеграл можно вычислить методом стационарной
фазы (см. ниже, разд. 3.7), взяв величину /х (У, Z) в этой стационарной
точке равной
- 2яг|(д2ф/дУ2) (S2ij)/dZ2) I"1/2/х {у, z) ехр [гф (у, г)].
Показать, что если Fx (соуЦгс), a>z/(rc)) задать в таком виде при г <С со
P/с, то уравнение (187) для р -ро будет согласовываться с выводами
геометрической акустики.
2. Одномерные волны в жидкостях
2.1. Продольные волны в трубах и каналах
Теория генерирования и распространения звука, основанная на суммировании
решений волнового уравнения для простых источников, оказалась применимой
(разд. 1.4-1.10) к широкому кругу задач, которые одновременно
удовлетворяют условию линейности (т. е. возмущения настолько малы, что их
квадратами можно пренебречь) и условию компактности (т. е. область
источников мала по сравнению с длиной волны).
Если условие компактности не выполнено, то такой подход применим лишь к
значительно более узкому кругу геометрически простых задач, вроде задач
из разд. 1.11 и 1.12. Однако в этом случае напрашивается другой метод,
основанный на прослеживании лучей, который можно использовать для решения
многих задач при противоположном условии, а именно при условии, что
