Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
перпендикулярном направлении, что дает
Pzz= - р0Ькдиг!дхг, Рзз = Ри = - ро&"ди21дх2, (215)
где
ди%!дхг = - duJdx-L, ди3/дх3 = 0. (216)
В курсах гидродинамики показывается, что возникающее в ре-
зультате движение без изменения плотности, называемое чистой деформацией,
является параллельным сдвиговым движением в плоскости {хъ х2) в других
осях (составляющих углы 45° с осями Xj и х2); система вязких напряжений
(214) в этих осях запишется как
рп = - 2рди1/дх1, р22 = - 2 рди0/дх2, р33 = 0.
(217)
Сравнивая (217) и сумму (213) и (215), получаем величину вклада в
коэффициент диффузии звука за счет вязкости
60 = -|-р/Ро> (218)
Прежде чем исследовать вклад от запаздывания, отметим несколько менее
очевидный вклад, обусловленный коэффициен-
1.13. Диссипация акустической энергии
107
•том теплопроводности к. Он определяется таким образом, что там, где
кривая зависимости температуры Т от расстояния х1 обращена вогнутостью
вверх, скорость увеличения внутренней энергии на единицу объема содержит
положительный член
кд2Т/дх[, (219)
а именно градиент потока тепла -кдТ1дх1 на единицу площади, возникающий в
результате изменения температуры. Физически это объясняется тем, что при
д2Т/дх* > 0 средняя молекулярная энергия меньше средней энергии соседних
молекул и, следовательно, имеется тенденция ее увеличения за счет
диффузионных процессов.
Для того чтобы оценить, исходя из выражений (219), соответствующий вклад
в медленное акустическое затухание, можно использовать соотношения между
температурой, давлением и т. д. для незатухающих звуковых волн. Для
данного избыточного давления р - р0 избыточная температура в силу формул
(26), (27) и (37) будет равна
Т - Г0 = (1 - у-1) (Р - p0)l(Rp0). (220)
Следовательно, скорость увеличения внутренней энергии (219) можно
выразить через д2р!дх\, а с учетом (199) через d2pldt2 следующим образом:
(1 - у1) W(Rp0)] d2p!dt\ (221)
Согласно уравнению (26), при заданном dpldt это дает некоторый вклад в
dp/dt, такой, чтобы соответствующий вклад в скорость увеличения
внутренней энергии рЕ на единицу объема
(cJR) dpldt (222)
принимал значение (221). Отсюда находим вклад в коэффициент диффузии
звука в уравнении (200) за счет теплопроводности, равный
6С = (1 - У"1) */(РоО- (223)
Из всех элементов, входящих в б в уравнении (200), мы определили
коэффициент 6", учитывающий отклонение от среднего давления рт, и
коэффициент 6С, учитывающий отклонение от уравнения (25), предполагающего
отсутствие притока тепла. Теперь предположим, что уравнение (25) и
соотношения Рц - Рт&ц выполняются, и найдем коэффициент 6г, который
учитывает запаздывание непоступательных составляющих внутренней энергии Е
по сравнению с изменением ее поступательной составляющей 3/2 (рт/р)-
108
1. Звуковые волны
Предположим, что внутренняя энергия найдена в виде разложения по модам
молекулярного движения, которые перенумерованы как 0, 1, 2, ... и энергия
которых меняется на величину Fnd (рт/р) при малых изменениях рт/р, но
только-по истечении времени запаздывания тп. Здесь п = 0 относится к
поступательной энергии, так что F0 = 3/2 и т0 = 0, а значения п > 0
относятся к вращательным или колебательным модам, для которых тп > 0.
В достаточно медленных процессах времена запаздывания пренебрежимо малы,
и мы имеем обратимые изменения с d (Рт'р) = R dT; тогда
dE = (2 Fn) R dT, откуда 2 Fn = с JR. (224)
При изменениях более быстрых, но все еще медленных в масштабе времени
запаздывания тп имеем
dE = 2 Fn (1 - xnd/dt) d (pjp) =
= {сJR. - 2 Fnxnd/dt) d (pjp). (225)
Для определения б; мы воспользуемся соотношением (25) в виде dE =
рП1р~2ф,как уже было указано выше. В результате получаем соотношение
РтР"2Ф = {cJR) d (pjp) -
- (2 Fn^n) (d/dt) [(R/cv) pmp-2 dp], (226)
Здесь в последнем члене, который оказывает малое влияние на затухание, d
(рт/р) было заменено соответствующим значением для незатухающих волн.
Уравнение (226) можно переписать как
dpm - с2 dp -f (d/dt) dp, (227)
где с2 определяется из (27), а
бi = (R!cv)2 ртр-1 2 Рптп = (у - I)2 (с2/у) 2 Рптп
(228)
является вкладом в коэффициент диффузии звука от запаздывания.
Все слагаемые (218), (223) и (228), входящие в б, обратно пропорциональны
плотности при заданной температуре, так как р, к и Fn зависят только от
температуры, в то время как времена запаздывания хп представляют собой
величины, кратные среднему времени между столкновениями, т. е. обратно
1.13. Диссипация акустической энергии
109
пропорциональны плотности. Следовательно, относительная потеря энергии на
длине волны (204) при заданной температуре будет зависеть от отношения
частоты к давлению, которое может быть измерено в МГц/бар.
Для одноатомных газов вся внутренняя энергия состоит только из
поступательной составляющей и, значит, 6г = 0. При б = бc + 6С (два
сравнимых вклада) выражение (204) согласуется с результатами
экспериментов в гелии и аргоне при отношениях частоты к давлению, меньших
100 МГц/бар, но больших 1 МГц/бар; при этих условиях относительные потери
