Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
cos 0 - (x cos ф -f- у sin ф) К cos 0 4-
-f zK sin 0 + -y 3tJ| . (255)
Это выражение показывает, что для волн с заданным волновым числом
амплитуда убывает как г-3/2, тогда как уравнения (253) для положения этих
волн показывают, что их энергия заполняет объем, расширяющийся как t3. Их
гребни движутся, конечно, в направлении, перпендикулярном радиусу-векто-
РУ (253).
Интересно выразить локальную амплитуду колебания q (скажем, qlt
задаваемую двумя первыми строками выражения (255)) через сферические
координаты
х = г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, z = г cos 0. (256)
Здесь, согласно (253),
г = NtK-1 sin 0. (257)
Тогда волновая амплитуда записывается в виде
qt = Qg0' (Ntr~i sin 0 cos 0 cos ф, Ntr~l sin>0 cosj0 sin i[),
- Ntr~v sin20) (2лЛТ)3/2 r-3 sin 0 cos1/20. (258)
Эта формула указывает на небольшое преимущество распространения под
углами 0 к вертикали, промежуточными между О и я/2. Она показывает, что
при больших г в любой момент времени t амплитуда затухает со скоростью,
обратно пропорциональной кубу г, в то время как выражение в
первой строке
принимает значение @J,0) (0, 0, 0), которое в силу формулы (225)
пропорционально интегралу от начального возмущения. С другой стороны, в
некотором фиксированном положении сигнал растет со временем до тех пор,
пока не достигается некоторое пороговое волновое число /?тах (за которым
(?<"> становится пренебрежимо малым) в момент времени rN~xKmах cosec 0.
Здесь мы можем заметить, что даже если в начальных условиях не существует
никакого определенного порога, он все же появится за счет дополнительного
множителя ехр (-(1/2) vKH) в (258), представляющего затухание энергии
4.8. Метод стационарной фазы в трехмерном случае
435
со скоростью (219). (Такой коэффициент затухания можно, как и в разд.
3.7, непосредственно включить в интеграл (223) п, следовательно, в его
асимптотическое представление (246).)
Выше были описаны внутренние волны, распространяющиеся вверх
(характеризующиеся положительной ю). Однако решение уравнений (16) - (22)
при начальных условиях общего вида включает также и внутренние волны,
распространяющиеся вниз (характеризующиеся отрицательной со). Например,
при заданных начальных значениях как вертикального перемещения, так и
вертикальной скорости (или, что эквивалентно, ре и q, которые связаны
соотношением (21)) мы можем определить последующее поведение q в виде
суммы члена (223) с положительной со и другого такого члена с другой
амплитудной функцией и отрицательной со, а (21) дает аналогичное
представление для ре.
Такие решения для ре и q определяют также ре при помощи уравнения (18). В
то же самое время они определяют и и V, если можно допустить, что
линейные уравнения движения уже удовлетворяются во время возникновения
начального возмущения. Это происходит потому, что из уравнений (16)
следует равенстве
таким образом, вертикальная компонента вихря не может изменяться и,
будучи равной нулю в невозмущенном состоянии, должна и оставаться равной
нулю. Тогда для каждого z двумерное векторное поле (и, v) однозначно
определяется своим нулевым вихрем и своей дивергенцией
известной из (17).
С другой стороны, если допустимы более общие начальные условия, то на
основании (259) они могут порождать произвольное значение dvldx - ди/ду,
не зависящее от времени. Тогда и и v могут отличаться от безвихревого
решения уравнения (260) на произвольное горизонтальное движение, которое
является как бездивергентным, так и стационарным. С этим движением не
связана никакая восстанавливающая сила, и оно может оставаться
невозмущенным, пока волновая энергия распространяется, как было описано
выше.
Поверхностные волны и некоторые другие волны в жидкости, подобные волнам
на границах раздела (разд. 4.1), распространяются в двух измерениях.
Развитый в настоящем разделе анализ' подойдет и для этого случая, если в
произведениях (241)
д (dvldx - du/dy)ldt = 0;
(259
ди/дх -\-idvtdy = -р'0х dq/dz,
(260)
28*
436 4. Внутренние волны
и (243) взять два члена вместо трех. Это дает
0 = л/2 в минимуме, -л/2 в максимуме,
О в седловой точке; / = д (С/1? U2)/d (кг, к2), (261)
в то время как (246) заменяется на
q = (2л/t) |./<0>! -1/2 ехр {i [со (к[0>. А'°') t - kpXj + 0]}. (262)
где /c(j> определяется из (247).
Интересно отметить простой вид этих результатов для изотропных волн,
удовлетворяющих зависимостям
со = со (к) при к = (/с2 + к2)*/'2 и "в' (к) = U (к). (263)
При этом условие (247) для kj = Ipf переходит в условие
X] = U (к) t (kjlk), х = (х\ + ж2)1/2 = U (к) t, (264)
подтверждающее, что волновой вектор имеет направление распространения
изотропных волн, энергия которых проходит расстояние U (к) t за время t.
Аналогично, (261) принимает вид
0 = л sign [U (к)\ + -j- л sign [V (к)J; ,/ = k~lU (к) U' (к); (265)
в частности, 0 = 0 для поверхностных гравитационных волн. Наконец, (262)
можно записать в виде
</ = x-1/2((2'0' (2л/с<°>)1/2) ! 2от/[?со" (А:(0>)] |1/2 х
X ехр {i [(о (А.,(0)) t - /с(0)ж -)- 0]}, (266)
