Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
подтверждающем утверждение, приведенное в начале разд. 3.7 по поводу
того, что амплитуды волн при изотропном двумерном распространении
изменяются в зависимости от положения и времени точно так же, как и при
одномерном распространении, но содержат дополнительный множитель ж-1/2. В
данном случае выражение в больших круглых скобках, определяющее энергию
на радиан в волнах с волновым числом /с<0), играет ту же роль, что F (kg)
в разд. 3.7.
4.9. Общая теория осциллирующих источников волн
Мы только что воспользовались трехмерным анализом Фурье, чтобы показать
асимптотическое поведение однородной линейной системы при свободных
колебаниях, являющихся результатом сложного начального возмущения в
ограниченной
4.9. Общая теория осциллирующих источников волн
437
области. В разд. 4.9 и 4.10 представлено дополнительное исследование
вынужденных колебаний (волн, возбуждаемых осциллирующим источником с
фиксированной частотой со0). Исследование снова ограничивается
однородными системами, поскольку используется анализ Фурье.
Асимптотическая оценка дается не относительно времени, а относительно
расстояния от источника. Мы увидим, что на больших расстояниях
распространение происходит так, как описывалось траекторно-лучевьтми
методами; при этом предполагается, что неоднородные системы можно
исследовать при помощи гибридного метода: настоящий анализ мог бы быть
использован для построения решения в области умеренных размеров вокруг
источника, где неоднородность играет небольшую роль, в то время как
развитие волн вне этой области можно было бы описать при помощи теории
лучей в неоднородных системах (разд. 4.5).
Излагаемый ниже общий подход дает полезные результаты, касающиеся
направленного распределения волновой энергии, генерируемой источниками,
для многих типов волновых систем: не только для систем, проявляющих
анизотропную дисперсию (подобно внутренним волнам, которые будут детально
обсуждаться в разд. 4.10), но и для изотропных систем, подобных волнам на
воде, и даже для недиспергирующих систем, подобных звуковым волнам. В
частности, вновь получаются (и обобщаются на другие системы) результаты
гл. 1, относящиеся к компактным источникам звука, после чего
устанавливаются новые результаты, относящиеся к излучению от некомпактных
источников звука.
В дальнейшем упомянутый выше метод распространяется (разд. 4.12) на
волны, возбуждаемые движущимися воздействиями, осциллирующими с
фиксированной частотой ш0. Для их исследования требуется метод, пригодный
для анизотропии, так как (какова бы ни была волновая система) движение
источника вносит существенную анизотропию. Случай со0 = 0
(неосциллирующий движущийся источник) включает задачи разд. 3.9 и 3.10 и,
в частности, позволяет получить оценку распределения волновой энергии,
связанной со стационарным движением корабля. И наоборот, наш настоящий
метод существенно опирается на идею, впервые введенную в конце разд. 3.9.
Мы рассмотрим вынуждающее воздействие осциллирующего источника с частотой
со0, пространственное распределение которого задается функцией
/ (хх, х2, х3) ехр (ш0г), (267)
смысл которой должен быть уточнен. Мы воспользуемся разложением Фурье для
функции / во всем пространстве волновых
438
4. Внутренние волны
чисел
f(xl,x2,x3} = ^ j ^ F (к^ к2. k3)e\y( - ikjxj)dkldk2dk3,
- со - оо - ос
(268)
потому что в случае, когда частота со0 фиксирована (и никакая другая
частота, даже -со0, не допускается), волновые числа (кх, к о, к3) и (-к1:
-к2, -к3) действительно различны. Мы покажем ниже для различных способов
задания вынуждающего воздействия, что характеристическая величина q,
определяющая волны, дается интегралом Фурье
является некоторой формой дисперсионного соотношения.
Для волн на воде распространение происходит в двух измерениях; поэтому в
приведенных выше выражениях нужно опустить х3 и к3 (и интегрирование по
к3). Действительно, в случае довольно общей системы двумерно
распространяющихся волн можно представить себе, что для колебаний вида
с произвольными со, к3 и к2 некоторое граничное значение т| (на какой-то
граничной плоскости х3 = const) можно было бы вычислить как
Тогда если невозмущенная диспергирующая система определяется граничным
условием р = 0, то дисперсионное соотношение можно записать в виде
С другой стороны, воздействие осциллирующего граничного возмущения
- со - со - со
(269)
где функция В такова, что уравнение
В (со, к1: к2, к3) = О
(270)
q = а ехр [г (cot - кгхг - к2х^\
(271)
г] = аВ (со, к1л к2) ехр [i (соt - кххг - к2х2)\. (272)
В (со, ки к2) = 0.
(273)
- со -оо
X ехр [г (со0t - kixl - к2х2)] dkt dk2 (274)
4.9. Общая теория осциллирующих источников волн
439
вызвало бы (как в разд. 3.9) ответную реакцию
00 оо
00
оо
так как (271) и (272) показывают, что для получения q значение т| для
каждой частоты и волнового числа нужно разделить на В.
В трехмерной волновой системе вынуждающие воздействия чаще всего
описываются дифференциальным уравнением. Однако это приводит к той же
