Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
"акустической энергии", которое включает в себя конвективный член u-
VlPex, поскольку в Wex входят величины первого порядка малости, в то
время как в (56) соответствующий член отбрасывается, поскольку W не'
содержит величин первого порядка. Определенные формулами (53) и (55)
величины W и I, в которых отброшены Wex и 1ех, особенно полезны',
поскольку для них
1.4. Точечный источник
31
всегда можно использовать решения линейного волнового уравнения (13),
если пренебречь членами третьей степени от возмущений, и эти решения
должны точно удовлетворять уравнению сохранения в линейной теории (56).
Акустическая интенсивность может измеряться в единицах Вт-м-2 (ватт на
кв. метр), однако если речь идет о чувственном восприятии звука, то более
подходящей является логарифмическая шкала уровней интенсивности, потому
что для данной частоты в Гц (колебаниях в секунду) ухо воспринимает
одинаковые отличия в громкости при одинаковых отличиях логарифма
интенсивности, а не ее самой. Уровень интенсивности по шкале децибелов
(дБ) определяется как
120 + 10 lg (//Вт м-2); (62)
здесь в скобках стоит величина / вектора интенсивности, измеренная в Вт-
м-2. Типичный минимальный уровень интенсивности, при котором слышен звук,
на типичных "высоких" частотах (от 500 до 8000 Гц) составляет 0 дБ, что
соответствует I = = 10-12 Вт-м-2 в силу (62).
Аналогичный "порог слышимости" при низких или очень высоких частотах
больше, например он равен 20 дБ (т. е. / = = 10-10 Вт-м-2) как при 200
Гц, так и при ~ 15 000 Гц и 40 дБ (т. е. / = 10-8 Вт-м-2) как при 100 Гц,
так и при ~ 18 000 Гц. Слышимость прекращается при частотах ниже 20 Гц и
выше ~ 20 000 Гц. Для большинства частот звук сильнее ~ 120 дБ (I = 1 Вт-
м-2) приводит к болевым ощущениям.
Оценка выходной мощности (в Вт) источников различных типов обсуждается в
следующих разделах, но здесь мы укажем типичные значения для нескольких
случаев; величины выходной мощности, если их разделить на 4яг2 (при этом
направленность источника, если таковая имеет место, не учитывается),
дадут интенсивность (в Вт-м-2) на расстоянии г (в метрах) от источника.
Выходная мощность человеческого голоса составляет около 10-5 Вт при
обычной речи и поднимается до 0,03 Вт при громком пении. С другой
стороны, акустическая мощность двигателей может быть гораздо выше,
достигая таких больших значений, как 105 Вт для огромных ракетных
двигателей, используемых при запуске больших космических кораблей.
1.4. Точечный источник
Волновое уравнение (13), которому удовлетворяет потенциал скорости ф в
линейной теории звука, имеет много разнообразных решений, кроме решений
вида (15), (18) или (21), пред-
.32
1. Звуковые волны
ставляющих плоские волны. Дальнейшие исследования по определению
существенно одномерных решений, подобных указанным, мы отложим до гл. 2,
а в оставшейся части гл. 1 изучим свойства некоторого важного класса
существенно трехмерных решений. При этом время от времени мы будем
производить сравнения со свойствами решений для плоских волн, поскольку
противопоставление характеристик механизма образования звука при разном
числе измерений оказывается весьма поучительным.
Некоторое понимание чрезвычайно сложных механизмов образования звука или
"источников" звука часто может быть достигнуто в результате исследования
нескольких фундаментальных решений волнового уравнения. Простейшим из них
является решение, не зависящее от направления; таков источник, излучающий
звук одинаково по всем направлениям и, естественно, называемый "точечным
источником" (или иначе по соображениям, которые будут объяснены в разд.
1.5, "моно-полем"), В данном разделе подробно исследуются свойства такого
точечного источника.
Для описания точечного источника, не зависящего от направления, будем
искать потенциал ср, сферически симметричный относительно некоторой
центральной точки. Действительно, потенциал
Ф = ф (*, г), (63)
зависящий только от времени t и расстояния г от центральной
точки, должен принимать одинаковые значения во всех точках,
равноудаленных от центральной точки по всем направлениям в фиксированный
момент времени. Лапласиан от функции (63) легко вычислить:
у2ф = д2<р!дг2 + 2г~1д(р!дг = г~гд2 (гц>)/дг2, (64)
так что волновое уравнение (13) можно записать в виде
д2 (гФ)/<9?2 = с2д2 (гф)/3г2. (65)
Целесообразность изучения волнового уравнения в трех-
мерном пространстве очевидна, поскольку только при таком числе измерений
волновое уравнение для сферически симметричного потенциала ф может быть
сведено к одномерному волновому уравнению (65). для функции гф. Для этого
уравнения в соответствии с формулами (15) и (18) можно записать общее
решение
гф - / (г - ct) + g (г + ct), (66)
1.4. Точечный источник
33
но, поскольку нас интересуют лишь волны, бегущие в направлении
возрастания г (т. е. от источника), в дальнейшем мы будем рассматривать
только случай g = 0.
Интересно сравнить решение (66) с классическим решением для сферически
