Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
или когда некоторое количество тепла передается от части системы с более
высокой температурой Т к части системы с более низкой температурой (так
что последняя приобретает больше энтропии, чем теряет первая). С точки
зрения статистической физики энтропия является мерой случайности
организации системы молекул вещества, и в обратимых процессах эта мера
остается постоянной, в то время как при необратимых изменениях ее полная
величина для изолированной системы может только увеличиваться, так как
система движется в области "пространства состояний" со все большей и
большей вероятностью.
В звуковых волнах любые необратимые процессы, включая вязкость и
теплопроводность, которые не принимались во внимание в разд. 1.1, должны
таким образом приводить к увеличению полной энтропии и соответственно к
нагреву жидкости, через которую проходит звуковая волна, и
соответствующей постепенной диссипации механической энергии звуковой
волны (смысл этой величины будет уточнен в разд. 1.3). Количественное
исследование процесса диссипации проводится в разд. 1.13.
Теперь можно остановиться вкратце на возможном влиянии на распространение
звука еще одного фактора, которым мы пренебрегали в разд. 1.1, а именно
поля внешних сил, в частности поля силы тяжести. Его наличие означает,
что давление рй и плотность ро в невозмущенной жидкости не являются
посто-янйьцли, а удовлетворяют гидростатическому соотношению
Vp0 = Pog, (43)
где g - вектор ускорения силы тяжести.
Однако сначала предположим, что энтропия единицы массы в невозмущенной
жидкости имеет постоянную величину, и, следовательно, остается постоянной
(если пренебречь процессами диссипации) в течение всего процесса
распространения звуковой волны. Тогда линеаризованное уравнение
количества движения (4), которое теперь будет содержать в правой части
дополнительный член pg, после вычитания из него соотношения (43) и учета
соотношения (37), связывающего р и р при постоянной энтропии, примет вид
Ро duJdt+ V (р - Ро) = (Р - Po)g = (Р - Po)gc'2- (44)
1.3. Акустическая энергия и акустическая интенсивность
25
Отношение характерной величины градиента V (р - р0У в уравнении (44) к
характерной величине р - р0 равно 2л IX, где X - характерная длина волны.
Следовательно, влияние силы тяжести на любую звуковую волну с длиной
волны X, много меньшей, чем c2lg, оказывается пренебрежимо малым. Для
воздуха отношение c2/g равно приближенно 12 км, так что влияние силы
тяжести пренебрежимо мало для всех обычных звуковых волн. В атмосфере оно
может оказаться значительным лишь при распространении очень медленных
флуктуаций давления с периодами в несколько секунд (и, следовательно,
длиной волны в несколько километров). Для воды отношение c2lg достигает
величины 2С0 км, что практически исключает какое-либо влияние силы
тяжести на звуковые волны даже в таких больших объемах воды, как океан.
Проведенные выше рассуждения обобщаются в гл. 4 на атмосферы со
стратифицированной энтропией (увеличивающейся вверх), для которых те же
условия оказываются достаточными (несмотря па то, что уравнения движения
теперь допускают существование других, значительно более медленных волн -
так называемых внутренних гравитационных волн) для того, чтобы устранить
любое возможное влияние силы тяжести на распространение звука вообще и на
скорость звука в частности.
1.3. Акустическая энергия и акустическая интенсивность
Характерным свойством волн является возможность переноса энергии без
необходимости переноса вещества. Под "акустической энергией"
подразумевают часть полной энергии жидкости, связанную с наличием в ней
звуковой волны, в то время как "акустическая интенсивность" имеет смысл
скорости переноса акустической энергии; в данном разделе оба понятия
рассматриваются в плане линейной теории звука.
Как было отмечено в разд. 1.1, в любой линейной теории колебаний или волн
возмущения считаются малыми величинами, квадратами которых в уравнениях
движения можно пренебречь (подразумевается также, что произведение двух
таких величин является пренебрежимо малым, поскольку его численное
значение не может быть больше квадрата одной из них). Однако иное правило
применяется для выражений энергии и скорости ее-изменения (или переноса),
в которых первые степени малых величин будут отсутствовать и в которых
поэтому сохраняют квадраты и произведения двух малых величин, а
пренебрегают
26
1. Звуковые волны
только их кубами (подразумевая при этом, что произведение трех и более
таких величин также пренебрежимо мало). В общей теории (см. курсы теории
колебаний) показывается, почему два таких подхода в точности согласуются
друг с другом.
Для простой иллюстрации вышесказанного рассмотрим кинетическую энергию. В
потоке жидкости с вектором скорости
и = (и, v, w) (45)
плотность кинетической энергии (кинетическая энергия на единицу объема)
равна
-|-р (u2 + vz+w2), (46)
где р -массовая плотность жидкости. Для любого возмущения волнового типа
