Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(23) и функциональное соотношение между Е и Т должны быть заменены более
сложными соотношениями
но с2 по-прежнему выражается как dp/dp при условии выполнения равенства
(25). Довольно удивительно^ что здесь, как и ранее, выполняется
соотношение
в котором "ньютоновское" значение eft равно др/др при постоянной
температуре Т, а у по-прежнему определяется формулой (29) как отношение
удельных теплоемкостей.
Это объясняется тем, что любое малое изменение температуры dT при
постоянном давлении приводит к изменению плотности
р = р (р, Т), Е = Е (р, Т)
(30)
с2 = ycb,
(31)
"(32)
так что отношение подвода тепла dE - рр_2с/р при постоянном давлении к
подводу тепла (dEldT)dT при постоянном объеме
22
1. Звуковые волна
составляет
С другой стороны, изменение плотности, удовлетворяющее соотношению (25),
отвечает изменению температуры
так что, используя для у определение (31), приходим к соотношению
которое, очевидно, совпадает с (33).
Более глубокое проникновение в природу скорости звука дает общая
термодинамическая теория, использующая понятие "энтропии". Подробные
сведения об энтропии и ее свойствах можно найти в курсах термодинамики и
статистической физики; здесь же кратко описываются только те свойства,
которые необходимы для изучения волн в жидкости.
Энтропия - это некоторая величина, которая остается постоянной в любом
"обратимом" процессе, подобном изменениям, постулированным выше для
звуковых волн. В обратимом процессе внутренняя энергия Е единицы массы
газа меняется точно на величину, даваемую формулой (25); никакие
дополнительные изменения вследствие перехода кинетической энергии в тепло
или передачи тепла извне здесь не имеют места; кроме того, при таком
процессе жидкость или газ продолжает удовлетворять тем же соотношениям
(30), которые характеризуют условия
^равновесия. Таким образом, обратимым является процесс, в котором
отсутствуют резкие градиенты по пространству и по времени, так что: (i)
влияние обусловленной вязкостью диссипации энергии в тепло и
теплопроводности пренебрежимо мало и (ii) распределение тепловой энергии
между различными формами молекулярного движения остается близким к
равновесному распределению. Этот процесс обратим, поскольку равное и
противоположное изменение восстанавливает начальное состояние через ту же
совокупность равновесных состояний.
Отсюда следует, что если градиенты в звуковой волне не слишком велики, то
энтропия S единицы массы остается постоянной. Соответственно если для
данной жидкости или газа, находящегося в условиях равновесия, можно
вывести соотношение
(34)
Г др . др /рр-2-д?7с?р\ л / L др ^ дТ V дЕ/дТ J JI
др др '
(35)
Р = Р (Р. $)ш
(36)
1.2. Скорость звука
23
ТО
с2 = др/др, (37)
где частная производная теперь берется при постоянной S.
Энтропия, однако,- это не просто любая величина, которая сохраняет свое
постоянное значение в обратимом процессе (процессе, который, в частности,
удовлетворяет соотношению (25)); энтропия и абсолютная температура Т
определяются таким образом, что любое отклонение от условия (25) при
переходе от одного равновесного состояния к другому близкому к нему
состоянию определяется уравнением
dE - рр-Чр = TdS; (38)
иначе говоря, полное подводимое тепло равно TdS. Если все переменные
представить в виде функций от р и Т, как в формулах (30), то из уравнения
(38) следует, что
dS 1 ( дЕ _"\ dS 1 дЕ /оп.
J* -ет=Т^т- ^
Учитывая, что d2S/dpdT = d2SldTdр, получаем соотношение Максвелла
дЕ/др = (р - Тдр/дТ) р-\ (40)
которое можно подставить в формулу (33) и найти выражение у через
величины, которые могут быть измерены:
7 = 1+ а 2ТсУсв, (41)
где а-коэффициент расширения жидкости или газа (-др/(рдТ)) при процессе с
постоянным давлением; с учетом а имеем для произвольного процесса
dp - cn(^P + ctpdT), (42)
откуда можно найти др/др и др/дТ, подставить в (33) и (40) и получить
соотношение (41).
Величина у всегда превышает единицу, но это превышение для большинства
жидкостей значительно меньше, чем для большинства газов. Это превышение
весьма мало для холодной воды с необычно малой величиной произведения аТ
(величина, которая в действительности стремится к нулю при Т= 277 К).
Значения аТ для наиболее типичных жидкостей, как правило, близки к
значению для горячей воды; в этом случае произведение аТ увеличивается до
0,27 при Т = 371 К (т. е. при 98 °С), что дает величину у = 1,1. Скорость
звука с в воде составляет приблизительно 1400 м/с, и подобные значения
характерны для большинства жидкостей.
24
1. Звуковые волны
Второй закон термодинамики утверждает, что полная энтропия в любой
теплоизолированной системе никогда не может уменьшаться. Происходящие
процессы либо являются обратимыми и при этом энтропия остается
постоянной, либо не обладают свойством обратимости и при этом энтропия
увеличивается, как, например, в случае, когда в результате обусловленной
вязкостью диссипации кинетической энергии получается приращение тепла TdS
