Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
задержкой во времени rlc через площадь 4яг2 жидкости, удаленной на
расстояние г от источника. Такое описание генерирования мощности является
приемлемым во многих отношениях, несмотря на тот факт, что в более
близких точках, не принадлежащих дальнему полю, второй член в квадратных
скобках (80) приводит в (82) к дополнительному члену вида
р"У? (? - r/c)q (t - г/с)/(16я2г3) = (d/dt) [p^g^i- г/с)/(32я2г3)], (84)
йоскольку осредненное по длительному периоду значение такой производной
по времени от ограниченной пульсирующей величины равно нулю. Таким
образом, член (84) не дает вклада й суммарный перенос энергии от
источника; действительно, можно проверить, основываясь на уравнении (56),
что он соответствует только колебанию дополнительной энергии, которая
требуется в ближнем поле для того, чтобы сбалансировать приток массы от
источника.
Таким образом, заданные флуктуации переноса массы q (t) генерируют
акустическую выходную мощность, которая в дальнем поле представляется
формулой (83) и характерное значение которой отличается от
соответствующего значения (79) в одномерном случае множителем
4со2/(4яс2) = яА1Х2, (85)
где X - характерная длина волны. Это означает, что громкоговорители,
размеры которых малы по сравнению с длиной
1,5. Акустический диполь
39
волны (так что площадь А мала по сравнению с №/п), генерируют
акустическую мощность гораздо менее' эффективно! когда-они излучают в
трех измерениях, нежели в случае, когда их излучение распространяется в
одном направлении вдоль трубы поперечного сечения А. (Такое утверждение
предполагает, как было указано в рассуждениях,'следующих за уравнением
(70), что пульсации массового расхода q (t) в области, размер которой мал
по сравнению с с/со = Х/(2л), излучают как точечный источник; этот
результат болееполно обсуждается в разд. 1.6.) Примеры эффективности,-в
одномерном случае большей, чем в трехмерном, с более подробными
количественными оценками приводятся в разд. 1.11 и 1.12.
1.5. Акустический диполь
Среди фундаментальных решений волнового уравнения, на основании свойств
котррых было достигнуто понимание очень "ложных источников звука,
следующим по степени важности после точечного (монопольного) источника
является диполь-ный источник. Акустический диполь, как будет показано в
данном разделе, обладает некоторыми свойствами рассмотренного в разд. 1.4
пространственного точечного источника, которые даже более ярко выражены:
различие между дальним полем и ближним полем здесь более значительно и
приводит к еще большей неэффективности диполя как генератора акустической
энергии (оказывается, что в этой роли точечный пространственный источник,
хотя и малоэффективный по сравнению с одномерными источниками, затмевает
всех своих трехмерных соперников!).
Начнем изучение свойств диполя с рассмотрения решения волнового уравнения
(13), полученного сложением двух решений для точечных источников: (i)
решения, найденного в разд. 1.4 для точечного источника, расположенного в
начале координат (0, 0, 0), с полем давления (71), выраженным через
напряженность q (t) и расстояние г от начала координат, и (ii) решения
для точечного источника равной и противоположной напряженности (-q)V,
расположенного в соседней точке (-I, 0, 0), с полем давления,
определенным по формуле (71), в которой q заменяется на (-q) и г на г',
где г' - расстояние от точки (-I, 0, 0).
х) Источник с отрицательным расходом обычно называют стоком.- Прим. ред.
40 1. Звуковые волн
Рис. 2. Звуковое поле в точке Р, обусловленное точечным источником
напряженности q в точке (0, 0, 0) и источником равной напря-
женности противоположного знака -д в точке (-I, 0, 0), зависит от
разности расстояний г и г' от точки Р до этих источников.
Тогда для г, много больших Z, поле давления совместной конфигурации,
изображенной на рис. 2, определяется как
р - Ро - [<7 (t - г/с)/(4яг)] - [q(t - г7с)/(4яг')]. (86)
Это в действительности относится к диполю, который по существу является
предельной формой рассматриваемой конфигурации при уменьшении I.
Выражение (86) представляет собой разность значений в фиксированный
момент времени t выражения (71) для двух близких значений г, а именно
гиг', разность между которыми не может превышать I; действительно, на
рис. 2 видно, что разность г - г' в направлении, составляющем угол 0 с
осью х, все точнее аппроксимируется величиной -I cos 0, когда I
становится малым по сравнению с г. Соответствующую разность значений
выражения (71), обусловленную различными значениями как множителя
сферического ослабления (4лг)~г, так и времени запаздывания r/с, для
достаточно малых I (см. ниже необходимую оценку малости) можно выразить
через производную по г:
р - р0 " (-I cos 0) (d/dr) [q (t - г/с)/(4яг)3. (87)
На рис. 3 показан другой способ получения того же результата: если г -
расстояние точки (х, у, z) от начала координат, то в силу свойств
построенного параллелограмма г' можно рас-
1.5. Акустический диполь
