Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
симметричного течения "несжимаемой жидкости", т. е. идеализированной
жидкости, плотность которой не меняется при изменении давления, так что
с2 = dp/dp равняется бесконечности и уравнение (13) превращается в
уравнение Лапласа V2q> = 0. Это классическое течение, также называемое
точечным источником (см. курсы гидродинамики), описывается решением
Ф = - т (t)/(Anr). (67)
Здесь коэффициент т (t) означает объемный расход источника при истечении
из центра в момент времени ?; действительно, объем жидкости, протекающий
через площадь 4яг2 на расстоянии г от центра, равен
4яг2с?ф/дг = т it). (68)
Этот поток на расстоянии г мгновенно реагирует на изменение объемного
расхода источника т (?) из центральной точки,
поскольку время передачи информации на расстояние г для
идеализированой жидкости, скорость звука в которой бесконечна, равно
нулю.
Акустическое решение (66) (при g = 0) можно представить в виде,
аналогичном (67), если функцию / (х) записать как -т (-ж/с)/4я; тогда
Ф = - т (t - rlc)!(Anr). (69)
Это выражение отличается от (67) только наличием времени
запаздывания г/с, требующегося для того, чтобы информация об изменениях
объемного расхода источника т (?) передавалась на расстояние г со
скоростью с; такое чрезвычайно слабое различие между решениями уравнения
Лапласа и волнового уравнения надо вновь отметить как относящееся
исключительно к случаю трехмерной задачи.
Теперь объемный расход жидкости через площадь 4яг2 на расстоянии г от
центра равен
Anr2dq>ldr = 7п (t - r/c) + (r/c) т (t - г/с), (70)
где в противоположность (68) ду/дг представляется в виде
двух членов, поскольку время запаздывания r/с зависит от г.
Дополнительный член, однако, исчезает при г -> 0, когда предельный
объемный расход жидкости, вытекающей из централь-
3-01100
34
1. Звуковые волны
ной точки, будет, согласно равенству (70), составлять, как и прежде, т
(t).
Заметим, что r/с не обязательно должно быть чрезвычайномалым для того,
чтобы выражение (70) было близко к т (t), так как оно представляет собой
первые два члена разложения в ряд Тейлора в окрестности точки t - rlc. В
самом деле, можно сказать, что объемный расход при умеренных расстояниях
г "пытается подстроиться" к величине мгновенного расхода т (t) по закону
линейной экстраполяции (при помощи производной
по времени т) на временном интервале rlc. Если характерные
значения т определяются отношением со2 к характерным значениям т (ш
представляет собой характерную частоту звука в радианах), то
относительная ошибка при замене выражения (70) на т (t) будет величиной
порядка (соr/с)2. Отсюда следует (и это подтверждается в дальнейших
разделах), что источник конечного радиуса г с переменным объемным
расходом т (t) может действовать так же, как точечный источник, если
отношение сог/с мало.
Избыточное давление р - р0, определяемое в линейной теории звука по
формуле (9), для точечного источника равно
Р - Ро = Я (t - г/с)/(4лг), (71)
где
q (t) = p0m (f) (72)
в линейной теории можно рассматривать как массовый расход источника. В
акустике часто предпочитают массовый расход q (t) объемному расходу,
поскольку масса является физически более важной переменной: даже
сжимаемая жидкость точно удовлетворяет закону сохранения массы всюду, где
"источники" массы отсутствуют. Избыточное давление (а не потенциал
скорости) в акустике также является наиболее просто измеряемой величиной.
По этим двум причинам уравнение (71), связывающее р - р0 и q (t),
рассматривается как фундаментальное уравнение для точечного источника. •
Заметим, что избыточное давление (71) с запаздыванием во времени на
r/с,реагирует на скорость изменения массового расхода q(t). Вот почему
производную по времени q (t) обычно называют • напряженностью точечного
источника.
Сравним указанное свойство точечного источника в трехмерной 'Пространстве
(скорость изменения Массового расхйда вызыйает флуктуаций давления) с
Противоположной ситуацией в одномерном- СлуИйС.'- Плоские
войны;распространяющиеся в направлении юсй ? ёроль -'трубы щноётбяннйй
площадью 4
1.4. Точечный источник
35
поперечного сечения, удовлетворяют уравнению (17); таким образом, если
они генерируются при х = 0 пульсирующим массовым расходом
q (t) = Ар0 (и)х=о = Ас_1 (р - р0)х=о, (73)
то избыточное давление при х > 0 определяется формулой
р - Ро - cA-1q (t - х/с). (74)
Выражение (74) отличается от соответствующего выражения (71 для
трехмерного случая не только вполне естественным отсутствием множителя
сферического ослабления (4яг)-1, но и тем, что оно зависит
непосредственно от массового расхода q (it), а не от его производной по
времени.
На рис. 1 показано, как положительная пульсация массового расхода
генерирует пропорциональный ей положительный импульс избыточного давления
в одномерном случае распространения волн и импульс совершенно другой
формы, полученной дифференцированием одномерной зависимости в трехмерном
случае. Из-за такого различия напрашивается вопрос: что происходит в
