Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в степени сферического ослабления двух сигналов. Такая двойственная
структура резко отличается от случая точечного источника, для которого
избыточное давление (71) меняется как г-1 для всех г и "дальнее поле"
определяется просто как область, где выполняется соотношение (81), дающее
тот же закон изменения радиальной скорости иТ, что и в плоском случае.
Для диполя, как и для источника, в дальнем поле это простое соотношение
между ит и р тоже остается справедливым. В действительности уравнение
количества движения (4) в радиальном направлении
р 0dur/dt = - др/дг (95)
дает соотношение для плоских волн (81) в дальнем поле, где с достаточной
степенью точности можно считать, что оператор д/дг действует только на
время запаздывания (r/с) в (87) (время запаздывания входит и в выражение
для плоских волн), а не на типично трехмерные элементы (множитель
сферического ослабления (4 л г)-1 и множитель направления cos0). Отсюда
следует, что вектор интенсивности звука (54) направлен по радиусу
44
1. Звуковые волны
и имеет величину
I = cos20 (р0c)-1Z2g2 (t - г/с)/(16я2г2с2), (96)
соответствующую потоку энергии Р (t - r/c) через сферу радиуса г с
центром в диполе, получаемому интегрированием (96) по всей поверхности
этой сферы, где величина
Р (t) = ZV (?)/(12яр0с3) (97)
может рассматриваться как акустическая выходная мощность пары источник -
сток.
Из сравнения (97) и (83) видно, что при выполнении условия компактности
(91) эта пара источник - сток является малоэффективной, обладая выходной
мощностью, составляющей примерно ((о11с)2-ю часть мощности одного
источника.
Такая низкая эффективность диполя по сравнению с источником безусловно
связана с двойственной структурой его поля давления, которое
характеризуется сравнительно мощным ближним полем, излучающим малую
энергию в гораздо более слабое дальнее поле.
Заметим, что даже при условии компактности Z<C Х/(2я) пара источник -
сток генерирует поле диполя только там, где r^$> Z; это поле включает в
себя и дальнее поле, где Л/(2л), и ближнее поле. Таким образом, область,
где г сравнимо с Z, не включается даже в "ближнее" поле диполя. Если этой
области нужно дать какое-либо название, то подходящим будет термин типа
"ближайшее поле". В ближайшем поле, где пара источник - сток даже
приблизительно не является диполем, нужно пользоваться уравнением (86).
Вне этой области справедливо дипольное приближение, приводящее к
уравнению (92), в котором в ближнем поле более существенным является
первый член, а в дальнем поле - второй.
Важным свойством ближнего поля диполя является перенос флуктуаций
количества движения, связанного с силой, с которой диполь действует на
внешнюю жидкость. Вектор количества движения направлен вдоль прямой,
соединяющей пару источник - сток (оси диполя). При таком определении
трудности, связанные со сходимостью, при недостаточной аккуратности могут
привести к неправильному ответу, но эти трудности исчезают, если
рассмотреть количество движения в некотором круговом цилиндре радиуса а,
ось которого совпадает с осью диполя и
г<а<Я/(2я). (98)
Скорость изменения осевой составляющей количества движения в таком
цилиндре в точности равна осевой силе, приложенной
1.5. Акустический диполь
45
к диполю, поскольку силы давления, действующие на поверхность цилиндра,
не имеют осевой составляющей.
Для того чтобы найти распределение этой осевой составляющей количества
движения, рассмотрим сначала ту ее часть, которая связана с источником,
имеющим положительный расход + q (t). Плотность количества движения в
ближнем поле для такого источника в силу уравнений (69) и (70)
представляется как
ро дц>/дх = р0 (х/г)дц>/дг =
= ро(x/r)[m(t-rlc)-\-{rlc)m{t-г/с)]/'(4лг2) "
" р0(х/г)[т (?)]/(4яг2) = xq (t)/(4nr3). (99)
Здесь выражения в квадратных скобках приближенно равны при малых сorlc
(т. е. в ближнем поле) по соображениям, приведенным после уравнения (70).
Интегрирование (99) по кругу радиуса а при фиксированном х приводит к
выражению
-^xq{t) [ | х I"1 - (a2-fa:2)"172], (100)
график которого представлен на рис. 4. Это выражение дает величину
количества движения на единицу длины цилиндра, но, с другой стороны, его
можно рассматривать как поток массы через круг в направлении оси х; такая
интерпретация объясняет скачок кривой q (t) при х = 0, где поступает
новая масса со скоростью q (t). Полное количество движения, получаемое
интегрированием выражения (100) от х = -оо до х = -f- оо (интеграл от
него сходится на обоих концах), равно нулю, как и следовало ожидать в
силу симметрии точечного источника.
Для пары источник - сток полная осевая составляющая количества движения,
получаемая сложением нулевых ее значений для каждого из них, должна быть
также равна нулю.
Рис. 4. Поток массы через круг, являющийся поперечным сечением цилиндра
жидкости радиуса а как функция расстояния х от точечного источника
напряженности q (t), расположенного на оси цилиндра. Приведенная кривая
