Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
41
(-г,0,0) (о,о,о)
Рис. 3. Расстояние г' точки Р с координатами (х, у, г) от источника
напряженности -q, расположенного в точке (-I, 0, 0), равно расстоянию
точки с координатами (х + I, у, z) от источника
напряженности q, расположенного в точке (0, 0, 0).
сматривать как расстояние близкой точки (х + I, у, г), от начала
координат. Следовательно, формула (86) выражает разность между
значениями выражения (71) в точках (х, у, z) и
(х + I, у, z), которую для достаточно малых I можно предста-
вить в виде
р - р0 да - I (д/дх)[д (t - г/с)/(4лг)], (88)
что и совпадает с (87), поскольку г = (я2 + у2 -f- z2)1/2 и
dr/dx = х!г - cos 0. (89)
Понятие диполя в акустике и других отраслях физики возникло в связи с
тем, что выражения типа (87) и (88) зависят не
от I и q в отдельности, а только от произведения
lq (t) = G (t), (90)
которое можно назвать напряженностью диполя. Иначе говоря, когда I
достаточно мало для того, чтобы уравнения (87) и (88) были достаточно
точными, поле давления будет, например, таким же и для другой пары
источник - сток, у которых напряженность q вдвое больше, а расстояние I
вдвое меньше.
Мы можем теперь ответить на вопрос о том, сколь малым для этого должно
быть I, при помощи теоремы о среднем, которая утверждает, что каждое
уравнение является точным, если производная от правой части уравнения
вычисляется при некотором промежуточном значении г, заключенном между г и
г';
42
I. Звуковые волны
замена этого промежуточного значения самим значением г является хорошим
приближением только тогда, когда изменение производной мало по сравнению
с ней самой при изменениях г на величину порядка Z. Это легко показать,
если выписать производную (например, как это делается ниже при выводе
формулы (92)), потребовав при этом не только, чтобы I было мало по
сравнению с г, как уже предполагалось ранее, но и чтобы сollc (где со -
характерная частота, отношение характерной величины q к характерной
величине д) было мало.
Последнее условие, при котором область источника конечных размеров Z
(подобная той, которая изображена на рис. 2) описывается формулой для
классического диполя, часто называется условием компактности: область,
содержащая источники, акустически компактна, если
1<^ с/со = Х/(2п). (91)
В разд. 1.4 (в рассуждениях, следующих за уравнением (70)) мы получили
такое же условие для того, чтобы расход массы из области конечного
радиуса описывался соответствующим точечным источником. Акустическая
компактность оказывается обычно очень важным условием, которое позволяет
использовать элементарные решения, подобные точечным источникам и
диполям, для построения моделей более сложных источников звука.
Целесообразно пока не пользоваться подстановкой (90), а вычислить
производную в (87):
Р - Ро - °os 0 {[lq (t - г/с)/(4яг2)] + [lq (t - г/с)/(4ягс)]} (92)
и сравнить результат с полями давления для индивидуальных источников.
Основным отличием, которое возникает из такого сравнения, является
зависимость от направления, выраженная множителем cos 0, принимающим
значения от -1 до +1, но не менее существенным является и различие в
зависимости от г.
Значения двух членов в квадратных скобках (92) относятся к величине для
поля давления (71) от одного источника с положительным расходом как
Иг и со И с, (93)
где со - снова характерная угловая частота (отношение харак-• • *
терной "величины q к величине q). Оба отношения (93) должны быть малыми
величинами для того, чтобы формула (92) была точной. Таким образом, любая
акустически компактная пара источник - сток создает на расстоянии г,
большом по сравнению с Z, поле давления диполя, которое мало по сравнению
с полем, обусловленным действием каждого источника в отдельности.
1.5. Акустический диполь
43
Заметим, что из двух отношений (93) первое уменьшается при удалении на
достаточно большое расстояние г, и в частности в ту область, которая в
разд. 1.4 определялась как "дальнее поле", где
г/$> с/а = Я/(2я). (94)
При вычислении избыточного давления в этом дальнем поле основную роль
играет второй член (92), полученный в результате дифференцирования (87)
только из-за наличия времени задержки r/с. В ближнем поле, однако, первое
отношение в (93) является по меньшей мере столь же важным и начинает
преобладать, когда юг/с становится малым, а это означает, что
существенным в (92) будет первый член, полученный в результате
дифференцирования в (87) множителя сферического ослабления (4яг)-1.
Таким образом, оставляя в стороне зависимость поля давления диполя от
направления, т. е. от cos 0, мы видим, что оно имеет двойственную
структуру зависимости от г: (i) в дальнем поле (94) избыточное давление
описывается членом, пропорциональным г-1, который является следствием
разности фаз сигналов от двух одинаковых источников с напряженностью
противоположного знака (эта разность фаз обусловлена различием г/с во
времени прибытия сигнала в точку наблюдения; (ii) в ближнем поле
доминирующим является член, пропорциональный г-2, обусловленный разностью
