Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
соотношение (17) в общем случае не выполняется. Вместо него можно
использовать уравнения (8) и (9), чтобы записать эту акустическую энергию
или "волновую энергию" через потенциал скорости ср в виде
W = -1 М(УФ2) + с'2 (дер/dt)zl. ' (53)
В рассматриваемом трехмерном случае акустическую интенсивность можно
определить как вектор I, составляющая которого I-п в направлении любого
единичного вектора п равна скорости, с которой в направлении п через
малый элемент плоскости, перпендикулярной п, переносится энергия,
отнесенная к единице площади элемента. Этот перенос энергии создается
силой р - р0 на единицу площади (если мы рассматриваем только избыточное
давление), умноженной на составляющую скорости u-n в направлении п; таким
образом, мощность на единицу площади равна (р -p")u-n, и обобщением
формулы
(48) на трехмерный случай будет
I = (р - ро) и.
(54)
1.3. Акустическая энергия и акустическая интенсивность
29
Отсюда, выражая все величины через потенциал скорости ср, получаем
I = - Ро (дф/<9г)Уф. (55)
Важной проверкой взаимной согласованности уравнений (53) и (54) является
тот факт, что они удовлетворяют уравнению сохранения акустической энергии
dW/dt = - у. I, (56)
которое выражает равенство скорости изменения акустической энергии в
малой области и полной скорости переноса энергии в эту область (которая в
пересчете на единицу объема этой области равна дивергенции вектора
переноса энергии I, взятой со знаком минус). Заметим, что любой член типа
u-УТУ, который можно было бы добавить в левую часть (56) для учета
конвективного переноса акустической энергии со скоростью жидкости и (и
который может дополнительно влиять на изменение энергии за счет работы
сил давления жидкости), можно здесь отбросить, поскольку W - величина
второго порядка малости, а и-У И7 имеет третий порядок. Действительно,
уравнению (56) в том виде, как оно записано, точно удовлетворяет
потенциал скорости ф линейной теории, так как его левая часть с учетом
(53) равна
Ро ((Уф)-У (<9фIdt) + c~2(dq>/dt) (d2(p!dt2)], (57)
а правая с учетом (55) записывается в виде
Ро [(Уф)-У (dq>/dt) -f (дф/ёМ)У2ф]. (58)
Эти выражения равны в силу волнового уравнения (13). Тогда, конечно,
логично рассматривать W как плотность некоторой полезной квадратичной
меры акустической амплитуды, а I - как векторный поток этой величины.
G другой стороны, следовало бы спросить, почему это так, поскольку,
отбрасывая всякую работу, производимую невозмущенным атмосферным
давлением р0, мы, конечно, не включили в W всю плотность энергии.
Уравнение (49) показывает, что отброшенная часть энергии равна
р
Wex = j Pop-1 dp = Po In (p/po), (59)
Po
а соответствующая отброшенная часть скорости переноса энер-тий I,
согласно (54), равна
lex = P0u. (60)
Почему же можно исключать из; рассмотрения подобные члены, .например
часть I, пропорциональную и? -
30
1. Звуковые волнья
При ответе на этот вопрос мы не должны использовать тот довод, что член
(60) не должен быть существенным в переносе-энергии, поскольку его
среднее (в некотором смысле) значение равно нулю. Разумеется, звук часто
генерируется колебаниями, которые в линейной теории вызывают флуктуации
скорости и жидкости около ее нулевого значения. Однако если включить 1ех
в I, которая является величиной второго порядка малости, то нужно
включить в 1ех вклады и того же порядка, которые могут быть вычислены
только на основе нелинейной теории и могут иметь ненулевое среднее
значение (это были бы "исправленные" движения, которые часто описываются
как "акустический ветер" или как "акустический поток" и которые более
подробно изучаются в разд. 4.7).
Тот факт, что 1ех и аналогично ТГех могут быть учтены правильно только в
том случае, когда входящие в них величины вычисляются со вторым порядком
точности, является весьма убедительным мотивом (наряду с отмеченными
выше) отбрасывания 1ех и Wex, но при этом подразумевается, что-любые
доводы, оправдывающие их исключение, должны основываться на точных, а не
на простых линеаризованных соотношениях между входящими в них величинами.
К счастью, эти отброшенные величины сами точно удовлетворяют уравнению
сохранения вида
dWeJdt + U-VWex = - V- lex, (61)
которое утверждает, что полная скорость изменения "потенциальной" энергии
элемента жидкости, связанной с работой невозмущенного давления р0, равна
скорости такого переноса энергии в этот элемент, который соответствует
работе, совершаемой за единицу времени давлением р0 со стороны срседних
элементов. Это утверждение дочти самоочевидно; во всяком случае уравнение
(61) с учетом (59) и (60) совпадает с уравнением неразрывности (3) с
точностью до множителя.
Это делает ясным статус нашего уравнения сохранения акустической энергии
(56): оно представляет собой полное уравнение сохранения энергии за
вычетом уравнения неразрывности (61), умноженного на определенный
множитель. Результат умножения можно рассматривать как отдельное
уравнение сохранения части полной энергии, отброшенной в полной
