Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 9

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 242 >> Следующая

выражение (10) для dp/dt, выводим уравнение
d\/dt2 = с2У2ф,
(13)
1.1. Волновое уравнение
17
где постоянная с (имеющая размерность скорости) определяется формулой
С2 = Р' (Ро). (14)
Большинство читателей узнает в уравнении (13) "волновое уравнение" -
уравнение, типичное для любого явления с сохранением энергии, в том числе
и для распространения волн через однородную среду с единственной
возможной скоростью волны с, не зависящей ни от формы волны, ни от
направления ее распространения. Этому уравнению удовлетворяют, например,
компоненты электромагнитных полей в вакууме, если с - скорость света,
равная 3-108 м/с. Как будет показано ниже (разд. 1.2), скорость звука с,
определяемая формулой (14), на несколько порядков меньше этой величины.
Простейшим решением уравнения (13) является "плоская волна", бегущая в
положительном направлении оси х:
Ф = / (х - ct). (15)
Здесь / (х) задает форму волны при t = 0, причем в более поздние моменты
времени t форма волны сохраняется, но сдвигается на расстояние ct в
направлении положительной оси х. Такая волна является "продольной" в том
смысле, что поле скорости и = (и, v, w), удовлетворяющее равенствам
и = /' (х - ct), v = w = 0, (16)
параллельно направлению распространенпя волны.
Для такой бегущей плоской волны уравнение (9) дает
Р - Ро = Рос", (I7)
т. е. прямую пропорциональность между избыточным давлением и составляющей
скорости жидкости в направлении распространения волны. Эта
пропорциональность обусловлена тем, что в точке бегущей волны, где
давление увеличивается, градиент давления в направлении распространения
волны принимает отрицательное значение -с-1 dp/dt и, таким образом,
ускоряет жидкость, в которой соответствующая составляющая ускорения du/dt
имеет положительное значение (р0с)-1 dp/dt (см. уравнение (4)). Заметим,
что формула (17) дает намного большее приращение давления при данном и,
чем получилось бы для стационарного течения в соответствии с членом
(1/2)р0и2.
РешениеД15) не является единственным решением волнового уравнения,
зависящим от двух переменных х и t; другим решением будет
ф = g (х + ct), - (18)
2-01100
18
1. Звуковые волны
а общее решение дается суммой решений (15) и (18) с произвольными
функциями fug. Формула (18) описывает плоскую волну, бегущую в
отрицательном направлении оси х; поле скорости и = (и, v, w)
удовлетворяет равенствам
и = g' (х + ct), v = w = 0, (19)
а избыточное давление составляет
Р -Ро = - Роем, (20)
но по-прежнему отношение избыточного давления к составляющей скорости (-
и) в направлении распространения равно р0с.
В общем случае плоская волна, бегущая в направлении вектора (?, ц, ?),
представляется функцией
<р = h {\х + у\у + t,z - ct), (21)
которая удовлетворяет уравнению (13) при условии, что I2 -)-+ ц2 + ?2 =
1. Из уравнений (8) и (9) очевидно, что
и ={1, Л> О (Рос)-1 (Р - Ро), (22)
т. е. мы снова имеем продольную волну с составляющей скорости (р0с)_1(р -
Ро) в направлении ее распространения.
Предположения о независимости скорости волны с от направления вектора (|,
ц, ?), а также от формы волны h упрощают "волновое уравнение", но такое
упрощение оказывается недопустимым во многих других задачах о волнах в
жидкости (см. ниже, начиная с гл. 3 и 4).
1.2. Скорость звука
Хотя формула (14) для скорости звука была известна еще Ньютону, ему не
удалось получить хорошее согласование между вычисляемой по ней величиной
скорости звука и результатами наблюдений. Эксперименты Бойля с газами
показали, что при умеренных значениях давления оно увеличивается с
уменьшением объема газа и что давление почти пропорционально плотности
при фиксированной температуре; с учетом последнего предположения формулу
(14) можно записать как с2 = р0/р0, откуда для воздуха при 20° С
получается с = 290 м/с, что значительно меньше наблюдаемой величины 340
м/с.
Не более чем столетие спустя Лаплас объяснил, что это расхожденке
получается из-за недопустимости использования Данных, Полученных при
фиксированной температуре. Каждый раз, когда в звуковой волне сжимается
элемент газа, соседняя Жидкость совершает над ним работу, и эта "работа
сжатия"
1.2. Скорость звука
19
увеличивает внутреннюю энергию элемента, таким образом повышая его
температуру. Эксперименты, подобные экспериментам Бойля с газами,
выполняются в резервуарах с большой теплоемкостью, благодаря чему
допускается теплообмен в газе после сжатия; при этом изменение объема
измеряется только после достижения стационарного состояния, связанного с
возвращением к начальной температуре.
Наоборот, для локальных сжатий внутри звуковой волны подобных ограничений
на изменение температуры нет; вычислим величину этого изменения
температуры и определим, как она влияет на скорость звука в тех газах,
которые с хорошей степенью приближения удовлетворяют закону Бойля. Это
так называемые "совершенные газы"; к ним относятся воздух и любой газ,
плотность которого очень мала по сравнению с плотностью того же вещества
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed