Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 13

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 242 >> Следующая

в жидкости, у которой в невозмущенном состоянии р = р0 и и = 0, плотность
кинетической энергии в линейной теории принимается равной
\ Ро (и2 + V2 + ш2), (47)
что отличается от величины (46) на пренебрежимо малую величину, равную
произведению трех малых величин (р - р0 и двух составляющих скорости). Из
общей теории колебаний следует, что инерциальный вклад, даваемый формулой
(47), в плотность энергии волны должен быть равноценным вкладу, который
связан с восстанавливающими силами (например, со сжимаемостью жидкости
в акустическом случае) и который можно
назвать плотностью "потенциальной" энергии; утверждается
также, что соответствующим образом осредненные значения кинетической и
потенциальной энергий должны .быть равны между србой.
В акустической теории требуется некоторая аккуратность, чтобы опрйделить
точные значения как для "потенциальной энергии", так и для скорости
переноса этой энергии. Рассмотрим сначала последнюю величину, причем
только в описываемом уравнениями (15)-(17) очень простом случае плоской
волны, распространяющейся в положительном направлении оси х.
В данном случае можно ожидать, что будет иметь место положительный
перенос энергии через любую плоскость х = const в положительном
направлении оси х. Для этого требуется, чтобы жидкость слева от плоскости
действовала на жидкость справа с положительной мощностью. Эта мощность
будет равна произведению (i) силы, действующей в положительном
направлении оси х на указанную плоскость и равной давлению р " пересчете
на единицу площади, и (ii) составляющей скорости и
1.3. Акустическая энергия и акустическая интенсивность
27
в этом направлении. Уравнение (17) подтверждает высказанное предположение
о положительности мощности на единицу площади, поскольку из него следует,
что "избыточное давление" р - ро (избыточное по отношению к
невозмущенному значению р0) всегда имеет тот же знак, что и и, так что их
произведение никогда не может быть отрицательным.
Хотя действительная мощность на единицу площади равна ри, мы определим
акустическую интенсивность как
I = (Р - Ро) и. (48)
Это означает, что мы игнорируем любую работу, производимую невозмущенным
"атмосферным" давлением р0, поскольку вряд ли можно ожидать, что оно
играет какую-либо роль в переносе энергии, и принимаем (48) как величину,
точно квадратичную относительно возмущений (таким, как мы видели, и
должен быть перенос энергии). Принимая на время концепцию,
аргументированную такими грубыми рассуждениями, будем сейчас исходить из
формулы (48), но позднее в этом же разделе вернемся к более полному
обоснованию отбрасывания обременительного для нас линейного члена р0и.
Принимая ту же концепцию, определим "потенциальную энергию" жидкости как
работу, произведенную над ней действием только избыточного давления при
сжатии до плотности р от невозмущенной плотности р0. Для любого малого
увеличения ф эта работа на единицу объема представится выражением
Р (Р - Ро) (-dp-1) = (р - р0)р-1 dp, (49)
которое отличается от (25) заменой самого давления р на избыточное р - ро
и множителем р, введенным для пересчета с единицы массы на единицу
объема. Заметим, что выражение (49) является квадратичным относительно
малых величин, каким и должен быть вклад в энергию. Это значит, что
множитель р-1 можно заменить на р"1 с погрешностью третьего порядка
малости, а с учетом (14) множитель р - р0 можно заменить на (р - Ро)
Следовательно, полная потенциальная энергия жидкости, сжатой до плотности
р, равна
р
J (Р - Ро) с2Ро1 dp = -у (р - Ро)2 ^р-1 = -у (р - Ро)2 с^р"1. (50)
Ро
В этом выражении два различных представления снова совпадают, если
пренебречь величинами третьего порядка малости.
Предположение общей теории о том, что "соответствующим образом
осредненные" величины кинетической и потенциальной энергий должны быть
равны, легки подтверждается в этом
28
1. Звуковые волны
частном случае распространения плоской волны: их плотности
(47) и (50) действительно всегда равны, так как в этом случае v = w = 0 и
справедливо уравнение (17). Поэтому полная плотность акустической энергии
(кинетической и потенциальной) составляет
= р0и2, (51)
в то время как интенсивность (48) с учетом (17) можно представить в виде
I = р0си2. (52)
Полученные величины находятся в соответствии с предположением, что
движущаяся звуковая волна может переносить энергию со скоростью с, так
как скорость переноса энергии I на единицу площади равна произведению
скорости с на энергию W единицы объема.
Используя полученные заключения для плоской волны, можно теперь
попытаться обобщить понятие акустической энергии и интенсивности на общий
случай трехмерного движе-. ния, основываясь на той же концепции, согласно
которой необходимо учитывать лишь ту работу, которую совершает
"избыточное" давление. Вывод уравнения (50) для плотности потенциальной
энергии остается неизменным, но полная акустическая энергия (сумма (47) и
(50)) уже не может быть представлена простым выражением (51), так как
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed