Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
в конденсированной фазе. Тогда величина давления хорошо аппроксимируется
выражением
р = RTpt (23)
где Т -абсолютная температура в градусах Кельвина (т. е. температура в
градусах Цельсия плюс 273), а формула р_ 8314(м"/с")-К-1
Средний молекулярный вес ' '
позволяет выразить R Т (в м2/с2) через средний молекулярный вес газа или
газовой смеси.
С физической точки зрения совершенным является такой газ, в котором в
каждый момент времени только очень малая часть молекул находится
настолько близко к другим молекулам, что они могут взаимодействовать.
Давление такого газа близко к величине RTp, связанной с переносом
количества движения за счет случайного поступательного движения молекул,
поскольку вклады от действия межмолекулярных сил, пропорциональные более
высоким степеням р, пренебрежимо малы. Отнесенная к единице массы
внутренняя энергия Е такого газа, которая с хорошей степенью приближения
представляется функцией только от температуры Е = Е (Т), пропорциональна
средней энергии (поступательного движения, вращения и колебаний)
изолированной молекулы, поскольку вклады потенциальной энергии, связанные
с межмолекулярными силами, тоже являются пренебрежимо малыми.
Если объем элемента газа остается неизменным, то для любого повышения
температуры dT требуется на единицу массы подвод тепла, равный требуемому
увеличению внутренней энррг гии Е'(Т) dT. Поэтому Е'(Т) (количество
подводимого тепла[на •единицу массы, требующееся для повышения
температуры на
2*
20
1. Звуковые волны
один градус) обозначается через с" и называется удельной теплоемкостью
при постоянном объеме.
Кроме того, при сжатии элемента газа имеет место дополнительное
увеличение внутренней энергии (за счет совершаемой работы, а не тепла),
так что его объем V изменяется на величину dV, которая является
отрицательной. Тогда полная работа, совершаемая над этим элементом
давлением р со стороны соседних элементов, будет равна р (-dV), так как
каждый соседний малый элемент совершает работу (равную произведению силы,
с которой он действует, на перемещение в направлении действия этой силы)
на единицу уменьшения объема элемента, равную силе, деленной на площадь
ее приложения, т. е. давлению р. Но объем V единицы массы равен р-1, и,
таким образом, изменение энергии единицы массы вследствие "работы сжатия"
равно
dE = р (-ф-1) = pp~2dp. (25)
В случае когда указанный источник изменения внутренней энергии является
единственным, как для звуковых волн, в которых и теплопроводностью, и
возникновением тепла за счет диссипации механической энергии можно
пренебречь, соответствующее приращение температуры dT вычисляется
следующим образом!
рр~2 dp = dE = cvdT - (cv/R) (p~l dp - pp~2dp); (26)
при этом используется соотношение (23), связывающее изменения температуры
с изменениями давления и плотности.
Теперь видно, что квадрат скорости звука с2, определяемый формулой (14)
как dp/dp, в силу соотношения (26), связывающего давление и плотность для
звуковой волны в совершенном газе, выражается как
с2 = ур/р = yRT, (27)
где для совершенного газа
У = (R + cv)/cv. (28)
Величина, найденная по формуле (27), равна ньютоновскому значению р/р,
умноженному на величину у, которая для воздуха имеет значение 1,40.
Соответствующее значение R мы находим по формуле 124), используя средний
молекулярный вес 29,0, и тогда при/Т = 293 К (что соответствует 20° С)
получаем величину с = 340 м/с, с точностью до двух значащих цифр
совпадающую со значением, полученным в эксперименте.
Для совершенных газов в общем случае величину (28) можно представить как
У С,,!сс, .. .. (29)
1.2. Скорость звука
21
где ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении, равная cv -f- R.
Это обусловлено тем, что газ, будучи нагретым при постоянном давлении
(например, при заданной высоте ртутного столба), расширяется, совершая
работу над окружающим газом, равную pdp_1 на единицу массы (она равна
взятой со знаком минус работе, которую совершает соседний газ над данным
элементом и которая выражается формулой (25)); эта работа при постоянном
давлении равна RdT в силу (23). Сумма работы RdT и увеличения внутренней
энергии сс dT должна равняться полному притоку тепла cpdT.
Типичный интервал значений у: от максимального значения 5/3 для
одноатомного газа, внутренняя энергия которого просто равна энергии
поступательного движения молекул (дающей вклад (3/2)/? в с"), и 7/5 для
двухатомного газа (в котором энергия вращения молекул дает дополнительную
добавку R к с"), до таких низких значений, как 1,2 и даже 1,1 для
многоатомных газов при высокой температуре (с дальнейшим значительным
увеличением cv из-за колебаний молекул). Во ьсех этих случаях формула
(27), утверждающая, что квадрат скорости звука с2 превышает его
ньютоновское значение в у раз, хорошо подтверждается наблюдениями.
Для жидкостей или газов, плотность которых слишком велика, чте /ы их
можно было считать "совершенными газами", простое уравнение состояния
