Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
связи (167)).
Тогда для х > 0 путь интегрирования пересекает при поднятии только те
полюсы, определяемые формулой (178), для которых U <С V (групповая
скорость меньше скорости потока).
Это дает вклад, равный вычету в каждом из них, умноженному
на 2т. В пределе при е-v О это будет
?== 2 [УШЬа + дВ?0к]*1 +0 |0Хр(-ХХ)| ДЛЯ Х>0 (180>
тт -т/ JA-А о
3.9. Картины волн, совдаваемые препятствиями
329>
Рис. 66. Зависимость обусловленного неоднородностью дна множителя sh
(fe0^)/[sh (2k0h) - 2k0h] в выражении (182) для возмущения поверхности
воды в стационарном потоке со скоростью V и глубиной h от числа Фруда
V2/gh.
(суммирование проводится по решениям уравнения (176) с положительными или
отрицательными и с U <С I7). Аналогично, для х <С 0 путь интегрирования
при понижении пересекает полюсы с U > V. Это дает вклад, равный вычету в
каждом из них, умноженному на -2т. В пределе это будет
?=2 |^?,+ЗДГТ)+°["р<")' для *<0- <Ш)
u>v °
Эти соотношения подтверждают, что волны с групповой скоростью,
превышающей скорость волны (например, короткие волны ряби), расположены
вверх по потоку от возмущения, тогда как такие волны, как гравитационные
с U < с, расположены вниз по потоку.
Единственная новая информация в соотношениях (180) и (181) касается
амплитуды волн. В выражении для амплитуды наиболее существен множитель F
(к0). Наличие этого множителя означает, что волны, появившиеся с
некоторым волновым
330
3. Волны на воде
числом к0, при котором они остаются стационарными, имеют амплитуду,
пропорциональную составляющей разложения Фурье волнообразующего
возмущения с волновым числом к0. Этим объясняется, почему возмущения
больших продольных размеров порождают по существу только гравитационные
волны.
Гравитационные волны, возникающие из-за наличия наклона дна формы / (г),
в соответствии с формулами (180) и (169), описываются выражением
4л [Г (к0) ехр (ikax) + F (- к0) ехр ( - ik0x) sh (k0h) t - sh
(2koh) -2k0h "
где
il = _th(*o*) (182)
gh k0h
На рис. 66 показано, что это выражение имеет тенденцию к существенному
возрастанию для величин V2/gh, приближающихся к 1 (для которых kji
относительно мало), однако когда V2/gh превышает 1, такие
перпендикулярные потоку гребни волн наблюдаться не могут (как было
обнаружено Уильямом Хаустоном).
3.10. Корабельные волны
В разд. 3.9 мы рассмотрели картину волн, создаваемую неподвижным
препятствием в стационарном потоке, и (по существу идентичную) картину
волн, создаваемую при движении такого же препятствия в неподвижной воде
для ограниченного ряда случаев: гребни волн почти перпендикулярны
направлению потока (или движению препятствия), поскольку препятствие
практически перегораживает поток (или канал). В этом разделе такое
ограничение снимается, и мы изучим намного более общую картину волн,
включающую наклонные волны, которые удовлетворяют условию (160) и
распространяются под некоторым углом 0 к направлению потока (или
направлению движения препятствия). Мы будем изучать главным образом
картину волн, расходящихся в продольном и поперечном направлениях на
большие расстояния, сравнимые с продольными и поперечными размерами
препятствия.
Хотя методы анализа дают информацию, прямо применимую к изучению картины
волн, создаваемых неподвижным препятствием в потоке (случай, на который
делался упор в разд. 3.9), название этого раздела -"Корабельные волны"
означает, что он и основном посвящен (по существу идентичной) картине
волн,
3.10. Корабельные волны
331
порожденных движением корабля с постоянной скоростью V на широких
просторах спокойной воды. Эта тема имеет большое практическое значение,
так как Pw - мощность, требуемая для создания волн, бегущих от корабля,
может составлять значительную часть полной выходной мощности корабельных
двигателей.
В этом разделе мы изучим различные свойства корабельных волн,
непосредственно следующие из дисперсионного соотношения для волн на воде.
Мы укажем также некоторые общие характеристики мощности Pw, включая
методы ее определения из модельных экспериментов. Однако мы отложим
обсуждение проблемы вычисления мощности Pw или амплитуды корабельных
волн, от которой она зависит, до тех пор, пока в гл. 4 не будут развиты
некоторые методы.
Формулой (160) устанавливается, что волны с любой скоростью с< V могут
быть стационарными в потоке, имеющем скорость V, при условии, что они
распространяются под углом
9 = arc cos (c/V) (183)
к направлению потока. Тогда скорость потока имеет перпендикулярную гребню
составляющую, равную V cos 0 и гасящую движение гребня со скоростью волны
с.
Условие (183) применяется и к любым волнам, порожденным движением корабля
с постоянной скоростью V по спокойной воде. Наиболее очевидный способ
убедиться в этом основан на таком доводе: в системе отсчета, в которой
корабль покоится, мы имеем обтекающий его стационарный поток воды с
невозмущенной скоростью V, и любые гребни волн в этом стационарном потоке
должны быть неподвижны. Условие (183) может быть, однако, выведено так
