Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
приведены в гл. 4.
22*
Рис. 71. Наблюдаемая картина корабельных волн. [Любезно предоставлено
Aerofilms Ltd.]
340 3- Волны на воде
У прояснения к главе 3
341-
Упражнения к главе 3
1. Общей характеристикой линейных теорий волнового движения является то
обстоятельство, что в них линейная комбинация волн равной амплитуды,
распространяющихся в противоположных направлениях, может образовывать
стоячую волну. (Такие стоячие волны не надо, конечно, путать со
стационарными волнами из разд. 3.9.) Найти потенциал скорости стоячих
волн на глубокой воде, если вертикальное смещение свободной поверхности
принимает вид
? = aeioit cos kx.
Показать, что каждая из линий тока определяется формулой ehz sin kx =
const
и начертить эти кривые. С какой амплитудой колеблется частица, среднее
положение которой (х, у, г), на линии тока, проходящей через эту точку?
2. Прямоугольная глубокая кювета длины I и ширины b<^ I заполнена водой.
Выписать зависимость потенциала скорости ф от произведения
тригонометрических функций от х и у, удовлетворяющую граничным условиям
на сторонах кюветы х = 0, х = I, у = 0 и у = Ъ. Показать, что резонансные
частоты кюветы ш имеют вид
(?л)1/2 (re2Z-2-f m2b"2)1/4 ,
где п и т - целые.
При какой наименьшей глубине воды все эти резонансные частоты с точностью
до 3% даются теорией глубокой воды?
3. На основе линейной теории могут быть правильно вычислены помимо
энергии и другие квадратичные величины. Предлагаем доказать, что
синусоидальная волна, распространяющаяся на глубокой воде со смещением
поверхности
I, = a cos (tot - kx),
обладает средним количеством движения в направлении распространения
(1/2)рма2 на единицу площади горизонтальной поверхности.
На первый взгляд правильность такого вычисления может показаться
сомнительной, поскольку такая величина, как количество движения,
получаемая интегрированием первой степени составляющей скорости, могла бы
иметь какое-либо слагаемое порядка а2, видоизмененное поправками второго
порядка к линейной теории. Покажите с помощью следующего метода, что это,
однако, невозможно.
Сначала докажите, что периодические волны на глубокой воде должны иметь
точно периодический потенциал скорости. Действительно, покажите, что если
ф - решение уравнения Лапласа в плоскости (х, z) с периодической
составляющей скорости дц>/дх (принимающей в точке (х + Я, z) такое же
значение, что и в точке {х, z)), то ф может отличаться от периодической
функции самое большее на член вида xf(z), который, однако, должен
обращаться в нуль, если необходимо, чтобы он удовлетворял уравнению
Лапласа
Упражнения к главе 3
и имел нулевой градиент при z = -оо. Докажите, следовательно, что полное
количество движения в каждой фиксированной горизонтальной плоскости z =
const равно нулю. Это означает, что количество движения, подобно
приращению потенциальной энергии (24), появляется только потому, что
верхняя граница жидкости не является фиксированной горизонтальной
плоскостью. Таким образом, количество движения зависит от произведения
малых величин возмущений состояния покоя и горизонтального положения
свободной поверхности и может быть правильно вычислено как величина
второго порядка в рамках линейной теории.
Тот же самый метод дает еще больше информации. Покажите, что частицы
жидкости, которые в невозмущенном состоянии находились на уровне z = z0 <
0, лежат по линейной теории в момент t на поверхности
z = z0-f-ae,,z° cos (a)t- kx).
Выведите, что те частицы жидкости, которые в невозмущенном состоянии
лежали ниже уровня z = z0, обладают средним количеством движения
1 " 2 - рша2е 0
на единицу площади горизонтальной поверхности. Получите затем среднее
значение количества движения на единицу объема для частиц жидкости
невозмущенного уровня z0 дифференцированием, дающим их среднюю
горизонтальную скорость в виде
со a2ke2hz°-
[Эта средняя скорость движения, известного как "стоксовский дрейф", дает
поправку второго порядка к траекториям частиц жидкости, которые для
линейной теории изображены на рис. 50. В течение каждого периода 2л/со
движение частицы жидкости составлено из ее движения по окружности радиуса
и из продвижения вперед на расстояние 2 nka2e2hz°,
изменяющегося как квадрат этого радиуса. (Этот результат мы можем
получить, хотя, может быть, с меньшей убедительностью, по-другому: путем
вычисления с учетом членов второго порядка траекторий частиц в поле
скоростей, определяемых формулами (21).)
Суммарное продвижение частиц вперед в волнах на глубокой воде вблизи
поверхности легко наблюдается в кювете, в которой волны генерируются у
одного конца и рассеиваются у другого. Однако с уменьшением глубины воды
изложенный выше метод расчета распределения количества движения
становится все менее и менее пригодным. Действительно, доказательство
строгой периодичности ф становится неверным, и ничто не может
предотвратить добавления равномерного потока второго порядка к основному,
полученному в первом приближении движению жидкости.
