Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
являющаяся отношением этих двух величин, равна в такой общей
диспергирующей системе величине
1/А' (со) = da/dk, (158)
которая представляет собой групповую скорость.
В разд. 3.6-3.8 была сделана попытка воздать должное емкости понятия
групповой скорости путем изучения ее свойств с разных точек зрения.
Возможно, разнообразные методы окончательно связываются воедино
доказательством, которым только что было завершено это изучение.
3.9. Картины волн, создаваемые препятствиями в стационарном потоке
Волны, изучаемые в большей части этой книги, представляют собой явления
нестационарные - связанные с ними движения жидкости изменяются во
времени; иногда это почти:
320
3. Волны на воде
синусоидальные волны, иногда гораздо менее регулярные. Мы видели, как
звук может быть порожден различными нестационарными движениями предмета,
погруженного в жидкость. Аналогично, волны на воде могут быть порождены
или подобными движениями погруженного предмета, или различными
нестационарными возмущениями поверхности воды (штормы, погружение
твердого тела и т. д.).
В противоположность этому в настоящем разделе мы опишем очевидно
парадоксальный случай волн, которые образуют совершенно стационарное
течение. Во всех точках потока (включая и те, в которых находятся волны)
течение является стационарным: скорость жидкости не меняется со временем.
Хотя подъем поверхности и может локально обнаруживать правильное, почти
синусоидальное изменение в пространстве, он не обнаруживает никакого
изменения во времени: гребни волн всегда остаются на тех же самых местах
при движении потока. Стационарная картина волн порождается совершенно
неподвижным препятствием в потоке. Это препятствие может быть закреплено
в потоке или лежать на дне, оно может быть просто местной особенностью
дна.
В своем стихотворении "Ручей, текущий к западу" Роберт Фрост х) писал
Чернеющие воды, налетая На затонувший камень, разбивались И вспять бежали
белою волной.
Так белая на черных мчалась вечно,
Не наступая и не отступая...
Постоянство потока поразило его воображение:
Волна та отражается от камня С тех пор, как реки по земле текут.
Он увидел, что распространение гребня вверх по потоку может в точности
сводиться на нет течением вниз по потоку:
Мы все перечим. Белою волной Ручей течет наперекор себе.
Он образно объяснил происхождение явления:
Вот это устремленье вспять, к истоку, Наперекор теченью, что несет нас,
Есть дань теченья своему истоку.
х) Перевод А. Сергеева из книги: Роберт Фрост. Из девяти книг.- .М.: ИЛ,
1963.
3.9. Картины волн, создаваемые препятствиями
321
Возмущение
Рис. 65. Схематическое изображение стационарных волн, генерируемых
неподвижным препятствием в стационарном потоке, имеющем скорость V.
Масштаб вертикального смещения невозмущенной поверхности воды увеличен
так, чтобы были отчетливо видны и волны ряби вверх по потоку от
препятствия, и большие гравитационные волны вниз по потоку. Препятствие
может иметь форму ступеньки дна или цилиндрического тела. Последнее может
находиться на дне, в середине толщи воды или на поверхности.
Фрост сравнил ручей с временем, которое несет людей к морю забвения.
Возможно, с этих позиций его стихи являются своего рода описанием
стационарной картины волн.
Мы изучим сначала очень простую стационарную картину волн - такую, в
которой все гребни волн перпендикулярны направлению потока. Такое
движение гребней со скоростью волны с в направлении, противоположном
потоку, имеющему скорость F, может быть стационарным тогда и только
тогда, когда
с = V. (159)
"Цилиндрическое" препятствие или "ступенька" дна, преграждающие под
прямым углом путь потоку, могут породить картину такого типа (рис. 65).
Дисперсионные свойства волн на воде полностью определяют существование
картины: скорость с меняется вместе с длиной волны, поэтому с помощью
равенства (159) среди всех длин волн отбирается одна (или самое большее
две), при которой волны могут быть стационарными.
Заметим, что в соответствии с условием (56) такие волны не могут
существовать в очень медленном потоке со скоростью V < 0,23 м/с.
Действительно, стационарное распространение гребней волн не прямо вверх
по потоку, а под некоторым углом 0 к нему также исключается в этом случае
из-за того, что должно удовлетворяться равенство
с - V cos 0, (160)
чтобы составляющая скорости потока V cos 0 в направлении под прямым углом
к гребням могла свести на нет движение гребня со скоростью волны с.
Равенство (160) показывает, что
21-01100
322
3. Волны на воде
с< V для всех стационарных волн, так что существование стационарной
картины в потоке, скорость которого V меньше минимальной скорости волн
ст, невозможно.
Возвращаясь теперь к случаю 0=0 (гребни перпендикулярны потоку),
рассмотрим поток с V, несколько большей, чем ст. Тогда из рис. 56
следует, что существуют два различных значения длины волны, при которых
удовлетворяется условие
(159). Это, казалось, должно означать, что мы можем наблюдать не
