Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
В (со, к) = ссо"1 (co2chkh - gk shkh) (169)
(если надо принять во внимание поверхностное натяжение, то должна быть
сделана замена (50)). Как и предвиделось, дисперсионное соотношение (35)
может быть записано в виде (167).
Теперь мы рассмотрим возникновение стационарных волн в потоке, имеющем
скорость V, считая, как и в соотношении (164), что г] отлично от нуля и
не зависит от времени:
со
r\ = Vf(x) = V [ F (к) ехр (ikx) dk. (170)
- Со
Волны вида (165) в потоке, имеющем скорость V, становятся стационарными,
если
со = kV, (171)
так как наложение на систему постоянной скорости V равносильно замене
координаты х на х - Vt. Следовательно, стационарная синусоидальная волна
Z = а ехр (ikx) подчиняется граничному условию г] - аВ (kV, к) ехр (ikx).
И наоборот, граничное условие ц = VF (к) ехр (ikx) определяет волну вида
Z = VF (к) I ехр (ikx)]/B (kV, к), а более общее граничное условие (170)
определяет волну вида
СО
5- f <172>
- СО
Как и в разд. 3.7, мы находим, что лучший способ оценки этого интеграла -
применение теоремы Коши. Для х > 0
3.9. Картины, волн, создаваемые препятствиями
327
путь интегрирования должен быть поднят на некоторое расстояние х, что
придает величине к положительную мнимую часть х, а интеграл становится
величиной порядка О [ехр (-%х)\. Для х < 0 путь интегрирования должен
быть опущен, что придает величине к мнимую часть (-х), а интеграл опять
становится малой величиной порядка О [ехр (ха:)]. С точностью до этих
погрешностей интеграл можно представить вычетами подинтегральной функции
в полюсах, проходимых при деформировании пути. Эти последние, являясь
значениями к, при которых В (kV, к) - 0, определяют стационарные волны.
В этой очевидно простой программе есть одна маленькая, но очень важная и
известная трудность: рассматриваемые полюсы лежат на исходном пути
интегрирования по к (на действительной оси). Это порождает очевидную
неоднозначность ответа, зависящего от того, берется ли исходный интеграл
(172) слева или справа от какого-либо полюса (или даже как комбинация
этих двух случаев в некоторой произвольной пропорции).
Эта математическая неоднозначность отвечает действительно имеющей место
физической неоднозначности задачи при проведенном выше анализе. К волнам,
действительно порожденным стационарным возмущением потока вида (170),
может быть добавлена произвольная цепочка стационарных волн,
удовлетворяющих условию г} = 0 для всех х (положительных и
отрицательных). Они определяются решениями уравнения В (kV, к) - = 0, и
энергия этих волн может быть произведена либо при х = +оо, либо при х = -
оо, в зависимости от того, больше или меньше групповая скорость, чем
величина V.
Очевидно, математическая задача, определяемая соотношением (170) и
имеющая решение вида (172), не является полным представлением физической
задачи, которая формулируется так: найти волны, действительно порожденные
самим возмущением и подчиняющиеся условию, часто называемому "условием
излучения": волновая энергия "на бесконечности" не создается.
Существует несколько эффективных математических процедур, эквивалентных
наложению этого условия излучения; некоторые из них прямо используют
понятие групповой скорости. Другие принимают во внимание затухание волн,
которое всегда должно существовать и которое однозначно сдвигает полюсы с
действительной оси. Желательно, однако, иметь метод, который работает
даже если затухание не принимается во внимание. Из всех методов
следующий, как оказывается, применим во многих полезных случаях (гл. 4).
Идея основана на том, что волны, действительно порожденные стационарной
"выпуклостью дна", можно легче всего выде-
328
3. Волны, на воде
лить, если представить, что выпуклость медленно поднимается до своей
настоящей высоты в первоначально невозмущенном потоке. Хорошее общее
представление этой идеи дается введением медленного экспоненциального
возрастания граничного значения тр
Оо
г} = [ехр (ei)] Vf (х) = [ехр (ef)] V | F (к) ехр (ikx) dk. (173)
- Оо
Отыскивая только такие волны, которые возрастают пропорционально ехр
(ei), но не зависят от времени каким-либо другим образом, мы исключаем
опасность получить решение, включающее другие волны с энергией,
произведенной "на бесконечности". (Здесь е - малая величина, которая в
конце вычислений будет устремлена к нулю.) Условие (171) заменяется
на
со = kV - ie, (174)
а решение (172) - на
оо
Е-["РИ1 [ (tm)B-Tkfdk- <175>
- оо
Этот интеграл вдоль действительной оси к может быть оценен однозначно,
так как полюсы слегка сдвинулись с оси интегрирования. Нуль функции В (kV
- ie, к), соответствующий каждому действительному к0, удовлетворяющему
уравнению
В (&0У, к0) = 0, (176)
находится примерно там, где выполнено условие
[(k - k0)V - ie] [dB/dw]k=ko + (k - k0) [dB/dk]h=ko = 0, (177)
т. е. при
к = к0 + ie/(V - U), (178)
где
U = [ - (дВ/дк)/(дВ/д со)]*=До (179)
является групповой скоростью (выражением da/dk, вычисленным с учетом
