Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
берегу энергия волны на единицу площади W увеличивается вдвое при
уменьшении глубины до 1 м. Поэтому в силу формулы (28) амплитуда а
(наибольший подъем поверхности воды) также увеличивается, правда, только
в ]/2 раз. С другой стороны, максимальная крутизна поверхности воды
составляет ка и увеличивается в намного большее число раз - в 4 {/ 2
раза. Глаз замечает в первую очередь именно крутизну поверхности воды, и
этим объясняется, почему волны кажутся намного большими, когда они
начинают двигаться на неглубокой воде.
Осталась еще одна трудная загадка. Почему скорость переноса энергии,
которая была определена и вычислена для случая чисто синусоидальных волн
с фиксированным волновым числом к и фиксированной частотой со, должна
быть равна групповой скорости, все свойства которой были выведены в разд.
3.6 и 3.5 из ее определения как da/dk - отношения приращений частоты и
волнового числа для близких решений уравнений движения? Наша проверка
того, что формулы (148) и (99) дают одинаковый результат, не разрешила
этой загадки, так как эти формулы были получены совершенно разными
способами: одна - интегрированием ch2 [к (z + h)] и sh2 [к (z + h)\, а
другая - дифференцированием к th kh.
Очевидно, желательно в общем случае найти доказательство того, что чисто
синусоидальными волнами энергия переносится со скоростью doi/dk. При этом
мы ограничимся (как в разд. 3.7) одномерным распространением в однородной
системе без затухания. Тогда синусоидальная волна вида
является точным решением линейных уравнений движения, если только со и к
связаны дисперсионным соотношением, которое в этом доказательстве
используется в виде
Надо ответить на трудный вопрос: как в такой волне поток энергии через
плоскость, например х = 0, может быть определен через приращения А: и со
при переходе к близкому решению волнового типа?
%, = а ехр U (coi - кх)]
(149)
к = к (со).
(150)
318
3. Волны на воде
Вот хороший ответ: "Путем введения малой силы, порождающей диссипацию
энергии, которая может вызвать малые, чисто мнимые изменения в к или со".
Легко можно представить себе достаточно общий путь, как достигнуть этого.
Предполагается, что движению каждой частицы среды оказывается
сопротивление с силой, равной и противоположной умноженному на Р
количеству движения. Здесь Р - постоянная, намного меньшая, чем со,
которая в конце анализа будет устремлена к нулю.
Будет показано, что для движения с пропорциональной ехр (iat)
интенсивностью и с определенной действительной частотой со постепенное
затухание (уменьшение амплитуды по мере движения волны в положительном
направлении оси х) обусловлено этой дополнительной диссипативной силой,
которая изменяет уравнение движения каждой частицы среды в системе
следующим образом. Консервативные силы, действующие на частицу,
уравновешиваются не просто инерциальным членом
-Мсо2г, (151)
(где М - масса частицы иг - вектор ее перемещения), а членом
-Мсо2г + рМшг, (152)
т. е. инерциальным членом минус демпфирующее сопротивление, равное и
противоположное по направлению умноженному на Р количеству движения.
Изменение, сделанное в выражении (152), по сравнению с (151) точно такое
же, каким оно было бы, если бы о"2 было везде заменено (в системе,
неизменной в других отношениях) на со2 - фсо. При р< w это равносильно
замене со на со - (1/2) гр. Для фиксированного действительного со система
теперь такова, что к заменяется на
к (а)-|- грА' (со), (153)
и мы можем заметить, что здесь появляется желанная производная dk/d(a\
Теперь формула (149) принимает вид
С = а ехр |г [cof- к (со) л:] -^-P&* (ю) х\ (154)
и показывает существование предусмотренного пространственного затухания
(здесь, как и везде, существенна действительная часть выражения справа).
Это возмущение имеет при х >0 только конечную энергию, которая может быть
вычислена по
3.9. Картины волн, создаваемые препятствиями
319-
формуле (130) как среднее от величины
ОО
cjc2dx, (155)
о
которая в свою очередь (поскольку среднее значение cos2 (<"/ - кх)
составляет 1/2) равна
ОО
-^-С J а2ехр{- p/с' (со) х} dx = -^-Ca2l($k' (а)). (156)
о
Теперь легко вычислить поток энергии через плоскость х = 0. Так как
энергия при х > 0 конечна и постоянна, поток энергии через плоскость х =
0 должен точно уравновешивать скорость диссипации энергии при х > 0. Она
равна для каждой
частицы величине рЛ/r2, так как сила сопротивления равна
и противоположна по направлению вектору рМг. Поэтому суммарная скорость
диссипации энергии при х > 0 равна умноженной на 2Р кинетической энергии
или умноженной на Р полной (кинетической и потенциальной) энергии. Это
равно умноженной на Р правой части равенства (156), и
в пределе при р -> 0 (отвечающему случаю точных
синусо-
идальных волн) мы все еще будем иметь конечную величину
¦j- Са2/к' (со) (157)
для этого потока энергии, которую сравним с энергией на единицу длины
(1/2) Са2. Таким образом, показано, что скорость переноса энергии,
