Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
правильные синусоидальные волны, а весьма нерегулярную картину,
образованную суперпозицией двух синусоидальных волн несоизмеримой длины.
Тем не менее мы обнаруживаем, что влияние дисперсии (как и ранее)
гарантирует, что локально наблюдаемые волны практически синусоидальны.
Решающим свойством диспергирующих волн является здесь отличие групповой
скорости U, с которой переносится энергия, от скорости волн с. Волны с X
> Яш имеют U < с, так что энергия переносится в воде со скоростью U,
меньшей, чем скорость потока с = V. Энергия в таких волнах всегда, таким
образом, передается вниз по потоку. Соответственно волны обнаруживаются
вниз по потоку от препятствия, которое является источником волн.
Наоборот, волны сХ<Хт имеют U, большую, чем с = V, так что их энергия
передается вверх по потоку от препятствия. В соответствии с этим очень
короткие волны ряби и более длинные гравитационные волны находятся в
разных местах: вверх и вниз по потоку от препятствия соответственно (рис.
65).
Другой, тесно связанный с приведенным способ рассуждений использует
систему отсчета, движущуюся с потоком. В этой системе отсчета препятствие
движется со скоростью V (в направлении "вверх по потоку") в воде, которая
находится в покое, за исключением вызванного движением препятствия
возмущения. Возникшие более длинные волны со скоростью волны с = V,
большей скорости переноса их энергии U, остаются тогда за препятствием:
каждый джоуль энергии волны после того, как он произведен, отстает от
препятствия все больше и больше, а энергия волн, находящихся в каждый
момент времени непосредственно сзади от него, произведена в последнюю
очередь. Энергия таких более длинных волн (по существу гравитационных
волн) обычно затухает достаточно медленно (разд. 3.5) и может быть
поэтому обнаружена на значительном расстоянии за препятствием. Напротив,
энергия волн ряби, для которых с равно V и меньше, чем U, переносится
вперед от препятствия, но скорость их затухания гораздо выше, поэтому они
не могут уйти далеко вперед от препятствия, не претерпев при этом
существенного затухания (рис. 65).
3.9. Картины волн, создаваемые препятствиями
323
Мощность Pw, которую должно расходовать препятствие, чтобы породить эти
волны, может быть легко выписана. Мы обозначали через W энергию на
единицу площади, которая, согласно (28), равна (1/2) рga2 для
гравитационных волн с амплитудой а и имеет такое же значение для волн
ряби, если увеличить g в соответствии с подстановкой (50). Энергия па
единицу площади Wd волн, движущихся вниз по потоку от препятствия,
переносится от него со скоростью V - Ud (где Ud - групповая скорость этих
более длинных волн со скоростью волны с = V). Энергия Wu на единицу
площади волн, движущихся вверх по потоку от препятствия, переносится от
него со скоростью Uu - V. Поэтому мощность, необходимая для образования
обеих последовательностей волн, равна
Pw = Ъ (F - ий) TFd + b(Uu- F) Wu. (161)
Здесь b - ширина потока, так что скорость возникновения новой возмущенной
волнами поверхности вверх и вниз по потоку от препятствия составляет Ъ (V
- Ud) и b (E/u - F) соответственно.
Эта мощность Pw не равна, разумеется, полной мощности, необходимой для
продвижения препятствия в воде. Дополнительная мощность "трения" Pf
связана с возникающим пограничным слоем и спутпым следом. "Лобовое
сопротивление", или сила сопротивления движению препятствия, часто
записывается в виде
D = Dw + Dt, где VDW = Pw, a VDt = Pt, (162)
т. e. как сумма "волнообразующего" сопротивления и сопротивления трения.
Дополнительная сила тяги, которую нужно приложить к препятствию для
преодоления не связанного с трением сопротивления Dw, создает мощность Pw
- FDn, необходимую для образования волн.
При рассмотрении в первоначальной системе отсчета, когда препятствие
покоилось, выписанные выше выражения (161) и (162) остаются потенциально
полезными: они дают силу, с которой поток действует на препятствие,
находящееся, как предполагалось выше, в потоке. В то же время проведенные
вычисления для препятствия, движущегося в покоящейся воде, могут быть
прямо применены для решения вопроса о сопротивлении движению по каналу
широкой баржи, почти полностью заполняющей его по ширине.
Во многих практических случаях важны только движущиеся вниз по потоку
гравитационные волны. Это обусловлено тем, что при скорости V,
существенно большей, чем сш = 0,23 см/с,
21*
324
3. Волны на воЬе
капиллярные волны, скорость которых удовлетворяет равенству (159), имеют
чрезвычайно малую длину (рис. 56). Препятствия существенных размеров не
могут по существу возбуждать такие короткие волны (которые в
действительности наблюдаются в основном впереди малых препятствий в
относительно медленном потоке). Наоборот, мы увидим, что большое
препятствие в потоке или движущаяся вдоль канала широкая баржа могут
возбуждать позади себя гравитационные волны с весьма большой амплитудой и
с удовлетворяющей равенству (159) скоростью. Как мы укажем при проведении
