Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Например, в волновой кювете только что упомянутого типа непрерывный
"стоксовский дрейф" поверхности воды вызывает подъем
Упражнения к главе 3
343
жидкости вблизи пологого берега, что создает градиент давления,
порождающий обратное течение жидкости. Оба эти обстоятельства уменьшают
поверхностный дрейф и уравновешивают его противоположным течением вблизи
дна. Ситуация еще более осложняется тем, что пограничный слой, связанный
с этой имеющей одно направление составляющей потока вблизи дна, может
стать намного толще "стоксовского пограничного слоя", связанного (разд.
3.5) с периодической компонентой... Все это означает, что вычисление
среднего количества движения для периодических волн является простым
делом только в случае глубокой воды.]
А. Показать, что в воде постоянной глубины h скорость волны может быть
стационарной как функция волнового числа тогда и только тогда, когда
волновое число к связано с соответствующей величиной для глубокой воды кт
(см. (53)) следующим образом:
к _ Г sh{2kh) - 2kh Tl/2 кт I sh (2kK)-\-2kh j
Нарисовать график этой функции, отметив ее поведение при больших и малых
kh. Использовать полученную таким образом информацию для проведения
доказательства того, что скорость волны имеет только один экстремум
(минимум) при любой глубине, большей чем З1/2^1 (х 5 мм), но не имеет
экстремумов для глубин, меньших указанной,
5, Для синусоидальных волн, распространяющихся по воде постоянной глубины
h, составляющая скорости по оси х в стоксовском пограничном слое может
быть записана в виде
" = "ех {1 - ехр [- (z -г К) (гш/v)1/2]},
где скорость внешнего потока иех сама пропорциональна ехр [г (cof - Аж)].
Использовать уравнение неразрывности, чтобы найти w - составляющую
скорости по оси z -• внутри и сразу за границей пограничного слоя.
Вычислить w также и в случае отсутствия какого-либо касательного
напряжения, когда мы просто берем и = ",.х, но налагаем условие нулевой
нормальной составляющей скорости (w = 0) при z = = -h + 6j. Проверить,
что оба расчета дают одинаковые распределения скорости вне пограничного
слоя при условии, что бх имеет значение, вычисленное по формуле (68).
6. Большое число одинаковых математических маятников длины г с грузами
(массы М), расположенными точно вдоль прямой горизонтальной линии L,
находится в равновесии. Вдоль прямой L расположена пружина, натяжение
которой равно Гик которой прикреплены все грузы.
Масса пружины пренебрежимо мала по сравнению с массой грузов. Показать,
что поперечные смещения грузов, при которых перпендикулярное к L смещение
"-го груза составляет уп, удовлетворяют уравнениям
Упражнения к главе 3
если за единицу расстояния принят промежуток между грузами. Рассмотреть
распространение волны со смещениями уп, пропорциональными ехр [i (о)1 -
kn)], которое, как можно полагать, имеет фазовую скорость с = (о/k. Найти
эту фазовую скорость с. Показать, что групповая скорость имеет величину
[gZ-1 + 2М~ХТ (1 - cos А)]-1/2 М~ХТ sin к,
и доказать, что она с необходимостью меньше фазовой скорости. На основе
этого описать, что произойдет с рядом маятников, если по одному из грузов
будет сделан слабый поперечный удар.
1Этот эксперимент был придуман Рейнольдсом, который использовал его,
чтобы дать аудитории наглядную демонстрацию группы волн, движущейся
вперед более медленно, чем отдельные гребни... Интересен предельный
случай Т = 0, при котором групповая скорость уменьшается до нуля.
Рейнольдс показывал, что, когда волна распространялась вправо и натяжение
пружины неожиданно ослабевало, маятники продолжали колебаться (теперь с
частотой, близкой к единственному значению (g/1)1/2), так что еще
была видимость движения гребней направо. Тем не менее движение уже
не
передавалось к каким-либо маятникам помимо тех, которые уже были в него
вовлечены.]
Показать, что если метод наискорейшего спуска для оценки интеграла (110)
при больших t используется для следующего приближения, то результатом
будет асимптотическое выражение (122), которое должно быть умножено на
величину
;Г 5ф'"2 ф"" Р'ф"1 F" 1
¦ 21 | 12ф''3 4ф"2 /'ф"2 ~т~ Рф" J '
где все функции вычислены в стационарной точке к0 (и предполагается, что
величины F и ф" не равны нулю). Убедиться, что это добавляет к амплитуде
(122), которая имеет порядок I-1/2, поправку порядка (~3/2. Почему эта
поправка меньше по порядку величины, чем возможная максимальная ошибка О
(г-1), допустимая при получении оценки (122)?
[Читателю рекомендуется выполнить вычисления в случае Ф* (*о) > 0- Случай
ф" (к0) < 0 приводит к такому же результату, что легче всего увидеть,
если поменять знак у ф (к) и взять комплексно сопряженную величину.]
В рамках линейной теории волн на воде решить следующую задачу Коши:
считая, что вертикальное смещение водной поверхности ? и вертикальная
скорость w - dZIdt принимают начальные значения, зависящие только от х,
найти вид получившихся в результате волн. Показать, что если
СЮ ОО
