Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лайтхилл Дж. -> "Волны в жидкостях" -> 145

Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях — М.: Мир, 1981. — 603 c.
Скачать (прямая ссылка): volnivjitkosytyah1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 242 >> Следующая

жидкостей. Для того чтобы получить дисперсионное соотношение, мы запишем
ю2 (квадрат угловой частоты) как отношение обобщенной жидкости (1) к
обобщенной массе (2), т. е. как
со2 = gk [(р2 - Pi)/(p2 + Pi)]. (3)
Очевидно, что волновые движения для заданной длины волны 2л/к будут в
точности такими же, как в гравитационных поверхностных волнах, но только
с частотой ю (и поэтому также со скоростью волн с = со /к), которая
уменьшилась за счет коэффициента, равного корню квадратному из отношения,
записанного в квадратных скобках. Для речной воды, лежащей над морской
водой, этот коэффициент принимает значения примерно от 0,11 до 0,12.
Поэтому может оказаться, что хотя корабль и движется настолько медленно
по сравнению со своей длиной, что не возбуждает никаких поверхностных
волн (разд. 3.10), он при этом движется быстро по сравнению со скоростями
волн (имеющих длины, соответствующие длине корабля) на такой поверхности
раздела в эстуарии. Это означает, что при входе в эстуарий корабль может
испытывать существенно возросшее сопротивление. Такое дополнительное
сопротивление представляет собой в точности волновое сопротивление,
связанное с энергией, необходимой для возбуждения внутренних волн (даже
если корабль при этом не порождает видимых волн на свободной
поверхности).
Мы перейдем теперь от волн на поверхности раздела между двумя однородными
жидкостями к волнам в жидкости с непрерывной стратификацией. В дальнейшем
(разд. 4.3) мы убедимся в том, что результат (3) действительно
согласуется с предельной формой результатов для непрерывно
стратифицированной жидкости.
Мы изучим малые возмущения равновесного распределения плотности р0 (z) в
атмосфере или в океане. Здесь р0 является
350
4. Внутренние волны.
непрерывно убывающей функцией высоты z. Равновесное распределение
давления р0 (z) должно также убывать с высотой согласно гидростатическому
закону:
dp0(z)/dz = - p0(z) g. (4)
Это распределение давления влияет на гравитационную восстанавливающую
силу. Предположим, например, что частица жидкости на высоте z с
плотностью р0 (z) совершает небольшое движение так, что ее высота
увеличивается до z + ?. Это переносит ее в область, где равновесная
плотность имеет меньшее значение
Po(z) + ?Po(z), где P;(z) < 0, (5)
и где давление уменьшается до
Ро (z) - Ро (z) gZ- (6>
В обратимом процессе это понижение давления должно происходить при
постоянной энтропии. Поэтому собственная плотность частицы уменьшается до
Po(z) - Po(z) gZ lc0(z)]~\ (7>
где величина [c0 (z)]a, являющаяся квадратом невозмущенной скорости звука
при давлении р0 (z) и плотности р0 (z), равна отношению приращения
давления к приращению плотности при постоянной энтропии.
Избыток плотности частицы над плотностью окружающей жидкости равен
поэтому разности между (7) и (5), а именно
{ - Po(z)g[r0(z)r2 - рЛ2Ж" (8>
Умножение этого выражения на g дает избыток веса частицы над
выталкивающей силой на единицу объема жидкости; иначе говоря,
гравитационная восстанавливающая сила равна
{ - Po(z)g[c0(z)r2 - p;(z)}gt. (9)
Это простое рассуждение показывает, что гравитационная устойчивость не
обеспечивается просто требованием р' (z) < 0, как в (5);
восстанавливающая сила (9) положительна только тогда, когда
Po(z) < - Po(z) g [c0(z)]-2. (10)
Таким образом, стратифицированная атмосфера или океан устойчивы только
тогда, когда относительная скорость уменьшения плотности с высотой -Pq/Po
превосходит gc'"2. Более полное обсуждение этого важного условия
устойчивости содержится в разд. 4.3.
4.1. Введение в теорию внутренних гравитационных волн
354:
Когда условие (10) для устойчивой стратификации выполняется,
восстанавливающую силу на единицу объема (9) можно записать в виде
Ро(*) ВД]2 I, (И)
где положительная величина N (z) с размерностью частоты определяется
формулой
N{z) = {[-gpo(z)/p0(z)] - g2 [co(z)]-2}Va. (12).
Очевидно, что потенциальная энергия и обобщенная жесткость (каждая на
единицу объема), связанные с этой гравитационной восстанавливающей силой
(И), соответственно равны
-1р0(г)[Л^)П2 и р0(г)[ЛГ(2)р. (13)
Легко видеть, что величина N (z), которую часто называют частотой Вяйсяля
- Брента, представляет собой своего рода максимальную частоту колебаний
под действием силы тяжести. Это видно из того, что при вертикальном
перемещении ?, рассматриваемом как обобщенная координата, обобщенная
масса имеет минимальное значение р0 (z) на единицу объема. Этот минимум
достигается в том случае, когда колебания чисто вертикальны, а
кинетическая энергия на единицу объема составляет
i-p0 (z){dHdt)\ (14)
Любые горизонтальные компоненты в движениях должны просто добавлять
соответствующие слагаемые к кинетической энергии (14). Это увеличит
обобщенную массу до значений, превосходящих р0 (z), и уменьшит квадрат
частоты, т. е. величину со2: (отношение обобщенной жесткости к обобщенной
массе), до. значений, меньших [JV (z)]2. Например, при колебаниях, таких,
что все движения жидкости направлены под углом 0 к
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 242 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed