Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
вертикали, обобщенная масса будет равна р0 (z) sec20,
а частота,
следовательно, должна быть равной
со = N (z) cos 0. (15)
Полная корректность этих предварительных заключений будет показана в два
этапа. На первом этапе используются уравнения движения в приближенной
форме, принадлежащей Буссинеску. В этом случае предполагается, что для
внутренних гравитационных волн так же, как и для поверхностных
гравитационных волн (разд. 3.1), можно упростить уравнение неразрывности,
пренебрегая сжимаемостью. На втором этапе, о котором пойдет речь в разд.
4.2, используются полные урав-
352
4. Внутренние волны
нения для сжимаемой жидкости и поэтому допускается возможность
существования как звуковых, так и внутренних волн; с другой стороны,
доказывается, что они распространяются независимо при некотором условии
(уже указанном в конце разд. 1.2), которое обычно выполняется.
В этом разделе мы ограничимся исследованием, основанным на приближении
Буссинеска. Смысл его состоит в том, что, хотя избыточная плотность (8) и
создает значительную гравитационную восстанавливающую силу (9), которая
должна быть учтена в уравнении количества движения жидкости, возникающие
в результате колебания происходят со столь низкой частотой, что влияние
скорости изменения избыточной плотности на уравнение неразрывности будет
пренебрежимо малым.
Если ре и ре обозначают избыточное давление р - р0 и избыточную плотность
р -¦ р0, то уравнение количества движения в линеаризованной форме имеет
вид
p0du/dt + Vpe = Peg" (16)
где вектор ускорения силы тяжести g = (0, 0, -g) направлен вниз. Эта
форма уравнения получена уже с учетом уравнения гидростатического
равновесия Vp0 = Pog- Если пренебречь членом dpjdt (как обсуждалось
выше), то уравнение неразрывности примет вид
V'(pou) = 0 (17)
Выписывая дивергенцию от (16) и используя (17), мы получаем
V2Pe= -gdpjdz. (18)
Если теперь обозначить через q направленную вверх составляющую потока
массы (т. е. составляющую вектора р0и по оси z), то из уравнения (16)
будет следовать равенство
dqldt -f dpjdz = - gpe, (19)
а из уравнений (18) и (19) мы получим, что
V2 (dq/dt) = gdzpe/dz2 - gV2pe= - g (d2pe/dx2 + d2pe/dy2). (20)
Заметим, что правая часть уравнения (20) положительна в тех точках
данного уровня (при фиксированном z), где ре имеет локальный максимум.
Следствием такой локальной положительности значения V2 {dqldt) является
отрицательность в соседних точках значений самой производной dqldt, т. е.
появление направленных вниз ускорений, которые и следовало ожидать в
окрестности максимума избыточной плотности.
4.1. Введение в теорию внутренних гравитационных волн
353
К тому же значение (8) для избыточной плотности ре вместе с определением
(12) функции N (z) дает
gdpjdt = [7V(z)]2 p0(z) dlldt = [iV(z)p q; (21)
поэтому, согласно (20),
Vz (d2q/dt2) = - [Л' (z)]2 {d2q/dx2 + дЩду2). (22)
Мы получили интересное уравнение в частных производных для восходящего
потока массы q. Его анизотропный характер очевиден из-за появления не
только трехмерного оператора Лапласа V2, но и двумерного оператора
Лапласа д21дх2 + д2!ду2.
Мы отложим до следующих разделов изучение решений уравнения (22) с
функцией N (z) общего вида, а пока заметим, что в случае, когда N (z) не
зависит от z, это уравнение имеет решения в виде простых плоских волн, а
именно в виде
q = Qi ехр [i (ait - kx - ly - mz)], (23)
где
со2 = N2 (*2 + l2)/(k2 + I2 + m2). (24)
Это волны, гребни которых и другие поверхности постоянной фазы являются
плоскостями kx + 1у + mz = const, перпендикулярными волновому вектору (к,
I, т). Уравнение (24) показывает, как и предсказывалось раньше, что
частота со такой волны самое большее равна N.
Действительно, на рис. 72 видно, что уравнение (24) в точности
согласуется с результатом со - N cos 0, данным в (15). Из уравнения
неразрывности (17) следует, что в решении типа плоской волны (23) вектор
скорости и перпендикулярен волновому вектору (k, I, т). Это означает, что
все движения жидкости происходят параллельно поверхностям постоянной
фазы. Мы можем, однако, сказать и больше: все колебательные движения
жидкости происходят вверх и вниз в направлении самого крутого подъема на
такой поверхности постоянной фазы. Это объясняется тем, что в силу
уравнения (16) вектор p0duIdt компланарен с волновым вектором
(направление Vpe) и вертикалью (направление p0g); иначе говоря, хотя
градиенты избыточного давления, перпендикулярные к поверхности постоянной
фазы, и могут объединиться с вертикальными гравитационными силами, чтобы
сообщить жидкости ускорения, параллельные этой поверхности, они должны
иметь направление самого крутого подъема. Поэтому плоские волны включают
в себя однонаправленные колебания жидкости под углом 0 к вертикали, где
sin 0 = | т | (А* + I2 + щ2)-1/2. (25)
354
4. Внутренние волны
Рис. 72. Из уравнения неразрывности следует, что движения каждой жидкой
частицы А в синусоидальной внутренней волне должны быть перпендикулярны
