Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
?= ^ Z (к) exр( - ikx)dk. w= J W (к)ъхp( - ikx)dk
o o
в момент 1=0, то для получившейся в результате волны (106),
распространяющейся в положительном направлении оси х,
F (к) = -1 {Z (к) - i [W (Л)/(c) (к)]}.
Упражнения к главе 3
345
Поверхность воды переводится из состояния покоя в положенно
? = 2ех (х2 + хЦ)-1.
Здесь х0 достаточно велико по сравнению с /.т, чтобы можно было
пренебречь поверхностным натяжением (разд. 3.4), но достаточно мало по
сравнению с глубиной воды (разд. 3.3), чтобы можно было использовать
результаты теории глубокой воды. Представив F (k) как ie ехр (-кх0),
показать, что если х и t велики и положительны, то
? - et (jtg)1/2z-3/2exp j"-- gt^x^ + i gt*x~1 + -^- я) J .
Вывести, что точка максимума амплитуды волны движется вперед со скоростью
((1/3) gx о)1/2. Проверить также, что гребни волны движутся в этой точке
с вдвое большей скоростью.
Проверить, наконец, что полная энергия волн при х > 0 составляет половину
начальной потенциальной энергии смещенной поверхности воды. Куда исчезла
вторая половина?
9. Показать, что в линейной теории волн на воде часть потока энергии в
положительном направлении оси х на единицу длины гребня, получающаяся за
счет прямого действия поверхностного натяжения Т, составляет
{-ТдЦдх) dl,tdt.
Проверить, что для волн, движущихся по воде глубины h под влиянием
тяготения и поверхностного натяжения, эта добавка в выражение (145) для
потока энергии в жидкости повышает средний поток энергии до величины UW,
где U и W - групповая скорость и средняя энергия волны на единицу площади
горизонтальной поверхности.
Выписать относительную долю этого среднего потока энергии, которая
вкладывается прямым переносом энергии за счет поверхностного натяжения, и
показать, что в случае глубокой воды эта доля может быть записана в виде
гьуо^+ь"),
[Таким образом, она составляет точно 1/2, когда к равно длине волны Лт,
соответствующей минимуму скорости волны, и возрастает до 2/3 в пределе
капиллярных волн (ЯДт мало).]
10. В стационарном потоке, имеющем скорость V и глубину ft,
стационарные волны могут возникнуть там, где по поверхности ударяет
стационарная струя воздуха. Рассмотреть случай, когда плоская воздушная
струя создает на поверхности воды распределение давления, изменяющееся
только по х (по координате в направлении потока). Использовать теорию
разд. 3.9, когда за граничную величину т] принимается разность между
давлением воздуха на поверхности и невозмущенным атмосферным давлением
ра. Показать, что величина В (kV, к), появившаяся ранее в формуле (172),
равна тогда
В (kV, к) = (th kh)-1 рV^k - pg - 77с2.
346
Упражнения к главе 3
Показать, что если V превышает минимальную скорость волны (AgT/p)1/1, но
является существенно меньшей, чем длинноволновая скорость (gh)1/2, то
уравнению В (kV, к) = 0 удовлетворяют два положительных значения величины
к, близкие к значениям
к1=(2Т)~1 [pF2_(p2F4_4pgr)i/2b
fc2 = (2Т)-1 {pV* + (P2F4-4рgT)^2 ],
полученным при замене th kh на 1.
Показать, что когда струя воздуха действует с суммарной! силой G на
единицу ширины потока, соответствующей распределению давления ji^Gxo (х2
+ xjj)-1, то волны, близкие по форме к волне вида
?= - 2G(p2F4 - 4pgT)~U2 e~hlX° sin (Адя),
распространяются вниз по потоку от струи воздуха, тогда как волны с ?,
близкой к
?=- 2G (pH74 - 4pg7')"1/2e"*2X"sin (к2х),
распространяются вверх по потоку. Показать, что при скорости потока 0,30
м/с длина возникших волн составляет около 0,05 м для волн,
распространяющихся вниз по потоку, и около 0,006 м для волн,
распространяющихся вверх по потоку; амплитуда последних в ехр (970л-0)
раз меньше, где х0 измеряется в метрах.
[Таким образом, волны вверх по потоку могут становиться трудно
наблюдаемыми при х0, больших 5 мм.]
11.' В разд. 3.4 и 3.6 соответственно мы показали, что волны на воде с
длиной, меньшей 4 мм, являются капиллярными и что отношение их групповой
скорости к скорости волны составляет 3/2. Предлагаем выполнить
аналогичное проведенному в разд. 3.10 исследование порождения таких
капиллярных волн стационарным движением по воде со скоростью V твердого
тела (размеры которого не должны превышать 1 или 2 мм, чтобы точность
исследования была хорошей).
Показать, что эти волны находятся повсюду вокруг препятствия. В системе
координат с началом в точке мгновенного положения препятствия и
отрицательным направлением оси х, совпадающим с направлением его
движения, найти мгновенное положение волн, которые были испущены под
углом 0 к этому направлению, когда препятствие находилось в точке (X, 0).
Показать, что вдоль каждого отдельного гребня величины X и 0 меняются
таким образом, что X cos3 0 принимает постоянное значение, скажем Хг.
Установите, что форма гребня описывается параметрическими уравнениями
х = Хг Sec 0 ^tg2 0-----, i/ = -|-Xjsec 0tg0,
Нарисовать эту кривую, заметив, что она проходит через точки {-O^Xl 0) и
(0, ±1,ЗХ!) и имеет асимптоты у = ±1,5Х}/3я:2/3. [Эти формы гребней,
