Волны в жидкостях - Лайтхилл Дж.
Скачать (прямая ссылка):
dW/dt = {-u-ype - wgpe} + {[с0 (z)]~2wgpe - ре v-u} +
+ {щре ~ [с0 (z)]'zwgpe), (42)
где три выражения в фигурных скобках соответствуют (i), (ii) и (iii). В
правой части четыре члена взаимно уничтожаются и, так как !
V-I = V-(A>u) = u-Vpe + peV-u,
оставшиеся члены дают ожидаемое уравнение
dW/dt = - V-I. (44)
Таким образом, мы проверили, что линеаризованные уравнения, которыми мы
пользуемся, обеспечивают сохранение энергии, если поток волновой энергии
определяется вектором I = реи (как в звуковых волнах), а плотность
волновой энергии W дается выражением (37), в котором потенциальные
энергии, связанные со звуковыми и внутренними волнами, просто
суммируются.
Эти линеаризованные уравнения, в которых исключены все переменные, кроме
ре и q, образуют систему двух уравнений второго порядка - уравнений (35)
и (36). Теперь мы исследуем свойства решений этих уравнений,
устанавливая, в частности, условия, при которых их решения имеют вид не
связанных между собой звуковых и внутренних гравитационных волн.
Точные решения, в которых функции N (z) и с0 (z), входящие в уравнения
(35) и (36), имеют самый общий вид, получить невозможно. Однако многие
сведения о волновых решениях этих уравнений можно почерпнуть из
локального дисперсионного соотношения. Это - соотношение
со = со (k, I, т, z), (45)
меняющееся с высотой z и связывающее между собой частоту и три
составляющие волнового вектора в решениях, которые локально изменяются
как
рв = рг ехр U (соt - кх - ly - mz)], q = qi exp [i (co? -
- kx - ly - mz)]. (46)
Для того чтобы вывести локальное дисперсионное соотношение, нужно
пренебречь скоростями изменения амплитуд Pi и в зависимости от положения
по сравнению со скоростью изменения синусоидально колеблющегося
множителя. При этом
360
4. Внутренние волны
уравнение (35) принимает вид
(со2 - N2) ?! -= СО (т + igc~2) ръ а уравнение (36) - вид
(с"2со2 - к2 - I2) р1 = со (т + ig~xN2) qx.
(48)
(47)
Существуют интересные случаи, когда уравнения (35) и (36) имеют точное
решение (46), в котором рх, qx, со, к, I и т - постоянные,
удовлетворяющие уравнениям (47) и (48). Это случаи, когда с0 (z) и N (z)
постоянны. Они включают случай атмосферы с постоянной температурой Т0 и с
постоянным отношением удельных темплоемкостей у. Тогда с0 = (yRT0)xB
является постоянной величиной (разд. 1.2), и уравнение гидростатического
равновесия (4) при р0 = RT0р0 дает
Например, в случае воздуха с температурой от 20 до -60° С это выражение
для изотермической частоты Вяйсяля - Брента дает значения, меняющиеся от
0,018 до 0,015 с-1 (что соответствует переходу колебаний от 6 до 7
минут).
Более того, для многих других случаев, когда с0 (z) и N (z) медленно
меняются в масштабе длины волны, в разд. 4.5 мы убедимся в том, что, как
и в одномерном случае (разд. 3.8), можно проследить распространение
волновой энергии, если всюду известно локальное дисперсионное соотношение
(45). В таких случаях к тому же можно установить и природу волн при
помощи проведенного ниже анализа этого дисперсионного соотношения.
Исключение рх и qx из (47) и (48) дает дисперсионное соотношение в виде
Мы исследуем решения уравнения (51), рассматривая его как квадратное
уравнение относительно со2 при условиях, предложенных в начале этого
раздела. Иначе говоря, предположим, что
(50)
(49)
с"2со4 - [(к2 + I2 + иг2) + im (,gc 2 + g-xN2)] со2 +
+ (к2 + I2) N2 = 0. (51)
волновое число (к2 + I2 + иг2)1/2 велико по сравнению с
I-Po(z)/Po(z)]; (52)
4.2" Объединенная теория звуковых и внутренних волн
361
в силу (29) это означает, что волновое число велико по сравнению как с
g'xN2, так и с gc~2 и поэтому велико и но сравнению с их средним
геометрическим c"W.
При этих условиях квадратное уравнение (51) для от обладает тем
свойством, что коэффициент при со2 приближенно равен /с2 + Z2 + т2 и
много больше среднего геометрического c^N (к2 + I2)1!2 двух других
коэффициентов. Но корни любого квадратного уравнения, в котором
коэффициент при линейном члене много больше среднего геометрического двух
других коэффициентов, с достаточно высокой точностью можно вычислить
следующим образом: больший корень получается, если пренебречь последним
членом уравнения, а меньший - если пренебречь его первым членом. В данном
случае поэтому больший и меньший корни приближенно равны соответственно
Здесь (53) представляет собой обычное соотношение, отражающее тот факт,
что звуковые волны не диспергируют (их скорость с0 не зависит от
волнового числа), а уравнение (54) является дисперсионным соотношением
(24) для внутренних волн. Мы, следовательно, доказали, что при условии
(52) (т. е. при медленном изменении невозмущенной плотности р0 (z) в
масштабе длины волны) эти два типа волн совершенно не связаны друг с
другом; ни на один из них не влияет наличие другого.
Может оказаться также полезным, как мы выяснили в разделах 3.3 и 3.8,
рассчитать, какое значение должно принимать волновое число при заданной
