Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
278 РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. VI
стоты, а не о вероятности в единицу времени. Вычислим эту вероятность прежде всего для случая перехода атома с некоторого возбужденного уровня
на основной уровень Е2, обладающий бесконечным временем жизни и потому строго дискретный.
Пусть 'F — волновая функция атома и фотонного поля, Н = /г0) + V — гамильтониан этой системы, причем V — оператор взаимодействия атома и фотонного поля. Будем искать решение уравнения Шредингера
/-^- = (Я(0)+7)^ (62,1)
в виде разложения по волновым функциям вевозмущенных состояний системы
(t) 4$' = ? av (t) e-'V* (62,2)
V V
Для коэффициентов av(t) получим систему уравнений
= ?<?\I ^ | ¦v') tv exp {i (ffv - SV) t}. (62,3)
V'
Пусть |v>— состояние с энергией &v = E2-\- со, в котором атом находится на основном уровне Е2, и имеется один квант
с определенной частотой ю; обозначим это состояние символом
|о)2>. В начальный момент времени система находится в состоянии 11), в котором атом возбужден на уровне Е\, а фотоны от-
сутствуют. Другими словами, при t — 0 должно быть
а, = 1, aV' = 0 для | v'> Ф | 1). (62,4)
Найденное с этим начальным условием решение уравнения (62,3) даст (при надлежащей нормировке волновых функций) вероятность к моменту t перехода атома 1-+2 с испусканием фотона в интервале частот da:
I аа2 (О I2 da.
Нас будет интересовать вероятность при t-^oo;
dw — I аа2(оо) j2 da. (62,5)
Для лучшего понимания постановки вопроса напомним, что при нахождении обычной вероятности излучения (в 1 с) с переходом 1->-2 (без учета ширины уровня) уравнение (62,3) надо
ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИИ
279
решать, заменив в первом приближении в его правой стороне все civ’(t) значениями (62,4). Полученное решение рассматривается затем при больших t (ср. III, § 42). Мы можем теперь уточнить смысл этой процедуры: она относится ко временам, малым по сравнению с продолжительностью жизни возбужденного уровня; большие t означают при этом времена, большие по сравнению с периодом l/(?i — Е2), но все же малые по сравнению с 1/Гь
В нашем же случае, когда рассматриваются времена, сравнимые с 1/Гь функция а\ (t) убывает со временем по закону
fll(/) = e-iv/2. (62,6)
Функции же aV'(t) для состояний | v'), которые могут возникнуть при высвечивании атома, со временем возрастают. Если высвечивание с данного уровня Е\ возможно на различные (помимо Е2) уровни атома, то будет много возрастающих функций a</(t); каждая из них отвечает состоянию, в котором атом находится на одном из своих уровней и имеется один фотон соответствующей энергии. Тем не менее в правой стороне уравнения
(62,3) по-прежнему останется всего один член — для |v'> = 11>. Действительно, поскольку матричные элементы могут быть отличны от нуля лишь для переходов с изменением на 1 числа фотонов какой-либо одной энергии, они заведомо равны нулю для переходов между состояниями, содержащими по одному фотону различных энергий.
Таким образом, имеем для a<o2(t) уравнение
I = (со21 V 11) е' №+ “-*) 'а, =
= (со21 V 11) ехр {/ (со — со12) / — -у- , (62,7)
где 0)12 = Ei —Е2. Интегрируя с условием аШ2(0) = 0, находим
п ___/„о | т/ | 1 \ 1 exp {i (ш (йц) t IV/2}
Я(о2 — (со2| V I 1) ш —ш12 + /Г,/2 ‘
Отсюда вероятность dw (62,5):
dw = |(co2|F|l)|2---------
(ш — <a12) + Г2/ 4
Поскольку ширина Fi <C СО12, в множителе |<co2|F|l>|2 можно положить со = coi2. Тогда величина 2л|<со2| F| 1>|2 есть обычная вероятность излучения (в 1 с) фотона, обладающего частотой а>12, а также другими (кроме частоты) характеристиками (направление движения, поляризация), от существования которых мы до сих пор для упрощения отвлекались. Отметим, что зависимость вероятности от этих характеристик полностью опреде-
280
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
[ГЛ. VI
ляется множителем |<©2| У| 1 >|2. Другими словами, учет ширины уровня не меняет поляризационных свойств и углового рас* пределения излучения.
Сумма
Г 1-*.2 = 2я?]| (®2| V 11) !2, (62,9)
взятая по поляризациям и направлениям движения фотона, есть полная обычная вероятность излучения. Это есть в то же время та часть ширины уровня Е\ (парциальная ширина), которая связана с переходом l-v2, в отличие от полной ширины Гь составленной из вкладов от всех возможных способов «распада» данного квазистационарного состояния ]).
Произведя такое же суммирование вероятности dw, получим следующую окончательную формулу для частотного распределения испускаемого света:
Г]________da
2л (со12 — со)2 + Г,/4
где wt = Г1-У2/Г1 — полная относительная вероятность перехода
1 -> 2. Это — распределение дисперсионного вида. Форма спектральной линии, описываемая формулой (62,10), свойственна изолированному неподвижному атому; ее называют естественной 2).
Пусть теперь уровень Е2 атома — тоже возбужденный, с конечной шириной Г2. Для простоты будем предполагать, что эта ширина связана с переходом атома в основное состояние Е0 с испусканием одного фотона (окончательный ответ — формула (62,12)—от этого предположения не зависит). Тогда процесс распада состояния 1 можно рассматривать как процесс излучения двух фотонов, изучавшийся в § 59. Матричный элемент этого процесса — пока без учета конечности времени жизни состояния
