Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
5„ = /2я6 (?> — ?,) Тп. (64,24)
В выражении для |Sf;|2 квадрат одномерной 5-функции должен пониматься как
[fi(?f-??)]2—ЙГ fi (?f-?,)*.
Перейдя затем (как и при выводе (64,11)) к амплитуде Mft вместо Tfi, получим следующее выражение для вероятности процесса, в котором одна частица, рассеиваясь в постоянном поле, создает в конечном состоянии некоторое число других частиц:
Здесь снова е( — ?,) —энергия начальной частицы, и е' — импульсы и энергии конечных частиц. Сечение же рассеяния получится делением dw на плотность потока j = v/V, где v =
— | р |/е — скорость рассеиваемой частицы. В результате нормировочный объем снова выпадает из ответа и получается
(64'25)
В частном случае упругого рассеяния в конечном состоянии имеется тоже одна частица с тем же (по величине) импульсом и той же энергией. Заменив сРр' —>p'2d] р'\do' ==| р'| е'de'do' и устранив б(е' — е) интегрированием node', получим сечение в виде
dG=wiMf‘|W- <64’26)
Наконец, если внешнее поле зависит от времени (скажем, поле системы частиц, совершающих заданное движение), то в S-матрице отсутствует также и б-функция от энергии. Тогда Sfl = iTfi и после перехода от Tfi к Mfi согласно (64,10) вероятность, например, процесса, в котором поле рождает определенную совокупность частиц, будет даваться формулой
dVa
§65] РЕАКЦИИ С ПОЛЯРИЗОВАННЫМИ ЧАСТИЦАМИ 291
§ 65. Реакции с поляризованными частицами
В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким
образом учитывается при вычислении сечения рассеяния поля-
ризационное состояние участвующих в реакции частиц.
Пусть в начальном и в конечном состояниях имеется по одному электрону. Тогда амплитуда рассеяния имеет вид
ми = й'Аи(=а\А1кЧ), (65,1)
где и и и' — биспинорные амплитуды начального и конечного электронов, А — некоторая матрица (зависящая от^ импульсов и поляризаций остальных участвующих в реакции частиц, если таковые имеются).
Сечение рассеяния пропорционально \Мц\ 2. Имеем
(й'АиУ = u'y°MV = и,А+у0+и',
или
(й'АиУ = йАи', (65,2)
где ¦)
А = у°А+у°.
Таким образом,
I Mfi Г = (й'Аи) М“') = U'fl'kAklUfimAml. (65,3)
Если начальный электрон находился в смешанном (частично поляризованном) состоянии с матрицей плотности р и если нас интересует сечение процесса с образованием конечного электрона в определенном наперед заданном поляризационном состоянии р', то надо заменить произведения компонент биспинорных амплитуд
“Х — Р
Тогда
|Mfil2=Sp(pMp4). (65,4)
Матрицы плотности р и р' даются формулой (29,13)
Р = 4" (YP+ «*)[! — Y5(Y«)] (65,5)
(и аналогично для р').
Если начальный электрон не поляризован, то
P = 4"(V Р + т). (65,6)
') В связи с необходимостью образовывать матрицу К отметим для будущего следующие легко проверяемые равенства:
/ = YV ••• YP = YP ••• YV’ Y5 = -Y5’ Y5Yu = Y V- (65,2a)
292
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VII
Подстановка этого выражения эквивалентна усреднению по поляризациям электрона. Если требуется определить сечение рассеяния с произвольной поляризацией конечного электрона, то надо положить также р' = (ур' + т)/2 и удвоить результат; эта операция эквивалентна суммированию по поляризациям электрона. Таким образом, получим
4- Z |Mf/|2=: Y-Sp{(Y// + mM(YP + mM}, (65,7)
поляр
где ? означает суммирование по начальным и конечным по-
поляр
ляризациям, а множитель ‘/г превращает одно из суммирований в усреднение.
Матрица плотности р' в (65,4) — вспомогательное понятие, характеризующее, по существу, свойства детектора (выделяющего ту или иную поляризацию конечного электрона), а не процесса рассеяния как такового. Возникает вопрос о поляризационном состоянии электрона, в которое он приводится процессом рассеяния самим по себе. Если p(f> — матрица плотности этого состояния, то вероятность детектирования электрона в состоянии р' получится проецированием p(f) на р', т. е. образованием следа Sp(ptf)p'). Этой же величине будет пропорционально соответствующее сечение, т. е. квадрат |.М/<|2. Сравнив с (65,4), мы заключим, что _
р<л ~ АрА. (65,8)
Поскольку заранее известно, что p(f) должно иметь вид (65,5) с некоторым 4-вектором a(f), дело сводится к определению последнего. Это можно было бы сделать по формуле (29,14), но еще проще поступить, как будет указано ниже.
Мы видели в § 29, что компоненты 4-вектора а выражаются через компоненты 3-вектора ? — среднего (удвоенного) значения спина электрона в его системе покоя. Поляризационные состояния электронов полностью определяются этими векторами, и целесообразно выражать через них также и сечение рассеяния. Очевидно, что квадрат [М/<|2 будет линеен по каждому из векторов ? и ?', относящихся к начальному и конечному электронам. Как функция от ?' он будет иметь вид
|Mflf = a + pe', (65,9)
где аир сами — линейные функции
Вектор %' в (65,9) — заданная поляризация конечного электрона, выделяемая детектором. Вектор же ?(f), отвечающий матрице плотности p(f), легко найти следующим образом. Согласно сказанному выше
!Aff,|2~Sp(pyf)).
РЕАКЦИИ С ПОЛЯРИЗОВАННЫМИ ЧАСТИЦАМИ
293
Ввиду релятивистской инвариантности этой величины можно вычислять ее в любой системе отсчета. В системе покоя конечного электрона имеем согласно (29,20)
