Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 101

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 244 >> Следующая

') Это можно показать иначе, вычислив сначала интеграл по каждой из координат в (64,4) в конечных пределах и затем устремив пределы к бесконечности с помощью формулы III (42,4):
I Sfi |2 = (2зх)4 6(41 (Рf — Р^ | Тfi \2Vt.
w^f^(2n)i6^(Pf-Pi)\Tfi\2V.
(64,5)
a
2) Для большей наглядности вычислений в этом параграфе не будем полагать нормировочный объем равным единице.
§ 641
АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ
287
На эту величину надо умножить выражение (64,5):
т-г V(^pf
dw =, (2я)4 б<*> (Р, - Pt) I Ти |2 7 Д . (64,7)
а
При этом волновые функции всех частиц, используемые при вычислении матричного элемента, должны быть нормированы на одну частицу в объеме V. Так, для электрона это — плоская волна (23,1), для частицы со спином 1— (14,12), для фотона —
энергия частицы. Однако в дальнейшем будет удобным условиться писать во всех вычислениях волновые функции частиц без этих множителей (которые включим в выражение для вероятности). Таким образом, электронная плоская волна будет
Вычисленную с такими функциями амплитуду рассеяния обозначим (в отличие от Tfi) Mfi. Очевидно, что
начальную или конечную частицу.
В частности, для вероятности распада получим вместо (64,7)
где е — энергия распадающейся частицы; нормировочный объем, как и должно быть, из этой формулы выпал ').
Придадим формуле (64,11) более законченный вид (устранив в ней б-функции) для случая, когда распад происходит на две частицы (с импульсами р{, р' и энергиями е[, е'). В системе покоя распадающейся частицы р{ = — р'2 = р', + е' = гп, так что имеем
*) Если среди конечных частиц имеется N тождественных, то при интегрировании по их импульсам (с целью нахождения интегральной вероятности) должен быть введен множитель 1/ЛП, учитывающий тождественность состояний, различающихся перестановкой частиц.
(4,3). Все эти функции содержат множитель 1/д/2eV, где е —
•ф = ие~1рх, йи = 2т,
(64,8)
а фотонная волна
А = л/Ап ee~ikx, ее* =—1, ek = 0. (64,9)
(64,10)
в знаменателе стоит по одному множителю л/2гУ на каждую
288 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ [ГЛ. VII
Первая 6-функция устраняется интегрированием по d3p'2; дифференциал же d3p[ переписываем в виде
(1ър' — р,2d | р' | do — | р' | do 1 2 / 1 — (64,12)
е, + е2
(в справедливости этой записи легко убедиться, заметив, что г[2 — т\2 — г'22 — т'2 — р/2). Интегрирование по d (е{ + е^) уст-
раняет вторую б-функцию, и получается
dw==1(64,13)
Рассмотрим теперь столкновение двух частиц (с импульсами Pi и р2 и энергиями ei и е2) с превращением их в совокупность произвольного числа частиц с импульсами р'. Вместо (64,11) получим теперь
1 -ГГ d3Pa
dw = (2л)46<4) (Pf - Pt) | Mfl |21^ Ц
(2яУ2еа
Интересующей нас величиной в этом случае является, однако, не вероятность, а сечение da. Инвариантное (относительно преобразований Лоренца) сечение получается из dw делением на величину
/ = -гг-—, (64,14)
> Ve, е2 v > /
где / обозначает 4-скаляр
/ = V (P\Pif — miml (64,15)
(см. II, § 12) '). В системе центра инерции (pi = —р2 s= р)
/ = IPl(ei + 62), (64,16)
так что
‘64’17>
что совпадает с обычным определением плотности потока сталкивающихся частиц (ut, v2 — их скорости)2). Таким образом,
') На будущее выпишем также выражение для I в виде
I2 = '/4 [s — (т1 + т2)2] [s — (т, — тг)21, (64,15а)
где s = (р, + р2)2.
2) В произвольной системе отсчета
/= С1/V) V(vi — v2)2 — [ViV2]2.
Это выражение сводится к обычной плотности потока во всех случаях, когда vjv2: / = |v, — \i\jV,
§ 64] АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ 289
находим для сечения формулу
л,=(Зд< в"> (Р, - Р,) IЛ1» I2 тт П ^7" (64, |8)
й ^
Придадим этой формуле окончательный вид, исключив из нее б-функцию для случая, когда в конечном состоянии тоже имеется всего две частицы. Будем рассматривать процесс в системе центра инерции. Пусть е = + е2 = г' + е'2 — полная энер-
гия; р, = —Р2 = Р и Р\ = ~~Р> = Р —начальный и конечный импульсы. Устранение б-функции производится так же, как и при выводе (64,13), и получается
<64'19>
(в частном случае упругого рассеяния, когда род частиц при столкновении не меняется, |р'| = |р|)-
Перепишем эту формулу еще и в другом виде, введя в нее инвариантную величину
l = — P\f = т\ + т\2 — 2 (/>;/>') =
= + mj2 — 2ej6j + 2 | Pj 11 Pj | cos0, (64,20)
где 0 — угол между p, и p'. В системе центра инерции импульсы |р(| = |р| и |р'| = |р'| определяются одной только полной энергией е, и при заданном е
dt — 2| р || р' \d cos0. (64,21)
Поэтому в (64,19) можно заменить
do' = —dtp d cos 0 =
d<f d (—/)
21 p II p'| ’
где ф — азимут p\ относительно p,1). Таким образом,
(64,22)
(мы снова ввели инвариант 1 согласно (64,16)). Азимут ф, а с ним и сечение в форме (64,22) инвариантны относительно преобразований Лоренца, не меняющих направление относительного движения частиц. Если сечение не зависит от азимута, формула (64,22) принимает особенно простой вид
йа-^\Мп\2^- (64,23)
*) Поскольку правильный знак дифференциала в подобных случаях очевиден, будем ниже для простоты писать dt вместо d{—1\ и т. п.
290
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VI*
Если одна из сталкивающихся частиц достаточно тяжела (и ее состояние в результате столкновения не меняется), то ее роль в процессе сводится к роли неподвижного источника постоянного поля, в котором рассеивается другая частица. В соответствии с тем, что в постоянном поле сохраняется энергия (но не импульс!) системы, при такой трактовке процесса столкновения представим элементы 5-матрицы в виде
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed