Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
При рассмотрении процессов рассеяния особую роль играют инвариантные величины, которые можно составить из 4-импульсов. Их функцией являются инвариантные амплитуды рассеяния
I)
II)
III)
1 + 2^3 + 4, 1 + 3^2 + 4, 1 + 4^2 + 3.
(66,2)
(см. § 70).
296
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VII
Из четырех 4-импульсов можно составить две независимые инвариантные величины. Действительно, в силу (66,1) всего три 4-вектора qa независимы; пусть это будут qu 9г, ?з. Из них можно составить шесть инвариантов: три квадрата q\, q\, q\ и три произведения qiq2, q\qz> qiqz- Но первые три есть заданные квадраты масс, а вторые три связаны одним соотношением, следующим из равенства ')
(<71 + ?2 + ?з)2 = ?4 = т4-
Для достижения большей симметрии удобно, однако, рассматривать не два, а три инварианта, в качестве которых выберем следующие:
5 — (?i + Qif = (Чз Ча?> t = (<7i + Яъ? = (42 + Ч*)2, (66>3)
« = (<7i + Q\? = (Я 2 + Чъ )2-Они связаны, как легко видеть, соотношением
s +1 + и = h, (66,4)
где
h = m2 + m2 + mi + (66,5)
В основном (I) канале инвариант s имеет простой физический смысл. Это есть квадрат полной энергии сталкивающихся
частиц (1 и 2) в системе их центра инерции (при pi + р2 = 0: s= (ei-f-e2)2). В канале II аналогичную роль играет инвариант /,ав канале III — инвариант и. В связи с этим каналы I, II, III часто называют s-, t- и «-каналами.
Не представляет труда выразить инварианты s, t, и через энергии и импульсы сталкивающихся частиц в каждом из каналов. Рассмотрим s-канал. В системе центра инерции частиц 1 и
2 временные и пространственные компоненты 4-векторов qa задаются следующим образом:
4l= Pl—(el> Pi). Ч2 — р2—(е2> Ps)>
/ г\ / /\ (66,6)
?3=-^3==(-e3> -Р.). ^4 = —^4 = (—в- Рв)
!) В общем случае, когда в реакции участвуют п ^ 4 частиц, число функционально независимых инвариантных переменных равно 3п—10. Действительно, имеется всего 4п величин — компонент п 4-импульсов qa. Между ними имеется п функциональных связей q\ = т2а и еще четыре, даваемых законом сохранения qa = 0. Произвольные значения могут быть приданы шести величинам — по числу параметров, определяющих общее преобразование Лоренца (общий четырехмерный поворот). Поэтому число независимых инвариантных переменных: 4п — п — 4 — 6 = 3п — 10.
§ 671
ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ
297
(индекс s у ps, р' напоминает о том, что эти импульсы относятся к реакции в s-канале). Тогда
В случае упругого рассеяния (т.\ = тз, т2 = trt\) имеем |ps | = | р'|, так что 6i = е3, е2 = е4. Вместо (66,9) при этом получаются более простые формулы
где 0S— угол между ps и р', Отметим, что инвариант —t представляет собой при этом квадрат переданного при столкновении (трехмерного) импульса.
Аналогичные формулы для других каналов получаются простым изменением обозначений. Для перехода к /-каналу надо произвести в (66,6—10) замену 2«->3; для перехода
к «-каналу — замену s ¦<->- и, 2 ¦«-*• 4.
§ 67. Физические области
Рассматривая амплитуды рассеяния как функции независимых переменных s, t, и (связанных лишь соотношением s -f t -f Ч- « = /г), мы сталкиваемся с необходимостью различать физически допустимые и недопустимые области их значений. Значения, которые могут отвечать физическому процессу рассеяния, должны удовлетворять определенным условиям, являющимся следствиями закона сохранения 4-импульса и того факта, что квадрат каждого из 4-векторов qa есть заданная величина
если qa = pa, Яь = Рь (или qa = —pa, Яъ = —Ръ), или же
s — bs , es — 6] -f- в2 — е3 -f- е4;
4sp? = [s — (т, + m2f] [s — (m{ — m2f], 4spj2 = [s — (m3 + m4)2] [s — (m3 — m4)2];
2t = h — s + 4psps — - j- (ml — mI) (ml — m\),
2u = h — s — 4psps + -j- (m2 — ml) {ml — m2).
(66,7)
(66,8)
(66,9)
t = - (P, - P^)2 = -2p2 (1 - cos es), и = -2p* (1+ cos es) + (e, - e2)2;
(66,10)
(pa + Pb)2>(ma-\- mbf,
(67,1)
(Яа + Яь)2 - (Pa — Рь)2 < (ma — mbf,
298
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VIГ
если q„ = Ро, Яь
s-канале:
= —рь. Отсюда следует, что для реакции в
(m, + т2)2< s >(m3 + тл)2,
(т{ — т3)2 ^ ^ (т2 — /п4)2,
(т{ — т4)2 ^ и ^ (т2 — /п3)2
(67,2)
(аналогичные неравенства — в и и-каналах).
Для нахождения остальных условий составим 4-вектор L, дуальный произведению каких-либо трех из 4-векторов qa, скажем
^ = eW7№73P- (57-3)
и=0 s=0
В системе покоя одной из частиц (например, частицы 1)
ql = (qf>< 0). При этом L имеет лишь пространственные компоненты: Li = emiq\q\qly Другими словами, L — пространственноподобный вектор, и во всякой системе отсчета L2 ^ 0. Раскрыв квадрат L2, получим условие
Я\ Я\Я2 Я\Яъ
Я2Я\
я!
Я&Я\ Я3Я2 Яз
> 0. (67,4)
Оно может быть выражено через инварианты s, t, и в едином для всех каналов виде
где
stu^s as -f bt -f cu, (67,5)
ah — (mlml — пг^пи) (m2i -f ml — ml — ml),
bh = (m\ml — mlml) (mi + ml — ml — m4), (67,6)
ch = (m\m\ — mlml) (m\ -f ml — mi — m3)
[T. W. B. Kibble, 1960).
Для графического изображения областей изменения переменных s, t, и удобно пользоваться так называемыми треугольными координатами на плоскости (плоскость Мандельстама; 5. Mandelstam, 1958). Координатными осями в ней являются три прямые, образующие в пересечении равносторонний треугольник. Координаты s, t, и отсчитываются по направлениям, перпендикулярным этим трем прямым. (Считаем положительными направления внутрь треугольника, как указано на рис. 5 стрелками.) Другими словами, каждой точке плоскости отвечают зна-
