Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ AMПЛИТУДАМ
303
t — —+ р.). Граница области s-канала имеет вид, показанный на рис. 12. Нижняя ветвь граничной кривой асимптотически приближается к оси и — 0, а верхняя пересекает эту ось в точке t = ц4/(М'2 — т2)‘
Область u-канала симметрична по отношению к области s-канала, а область i-канала расположена, как показано на рисунке.
§ 68. Разложение по парциальным амплитудам
Существенным этапом в анализе реакции вида
а b—> с d (68,1)
является разложение амплитуды рассеяния по парциальным амплитудам, каждая из которых отвечает (при заданной полной энергии е) определенному значению полного момента частиц / в системе их центра инерции *).
Эти парциальные амплитуды представляют собой, другими словами, элементы 5-матрицы в моментном представлении:
(eJ'M'\S\eJM).
Поскольку момент / и его проекция М на заданную ось z сохраняются, 5-матрица диагональна по этим числам (как и по энергии е). При этом в силу изотропии пространства диагональные элементы не зависят от значения М. При заданных J, М, е матрица рассеяния остается еще матрицей по отношению к спиновым квантовым числам; элементы этой матрицы мы будем записывать более коротко в виде
(e/AU' 151 eJMk) за (А/1SJ (е) I X), (68,2)
где X и X' — совокупности спиновых квантовых чисел. В качестве последних наиболее естественно воспользоваться здесь спираль-ностями частиц. Напомним, что спиральность (в отличие от проекции спина на произвольную ось в пространстве) сохраняется для свободной частицы, а также что она коммутирует как с импульсом, так и с моментом частицы (§ 16). Поэтому спираль-ностями можно пользоваться как в импульсном, так и в моментном представлениях матрицы рассеяния.
Элементы 5-матрицы по индексам спиральностей мы будем называть спиральными амплитудами рассеяния и, таким образом, будем подразумевать под X и X' совокупности спиральностей начальных и конечных частиц: X = (Ха, Хь), X' = (Хс, ta).
В импульсном представлении элементы матрицы рассеяния определяются по отношению к состояниям |епХ> (п = р/1 р | — направление импульса относительного движения в системе центра инерции), а в моментном — по отношению к состояниям
*) Большая часть результатов, излагаемых в § 68, 69, принадлежит Жакобу и Вику (М. Jacob, G. С. Wick, 1959).
304
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VII!
|sJMk). Они выражаются друг через друга в виде разложений
| JMk) = \ | пЯ.) (пк | JMk) doa, (68,3)
где интегрирование производится по направлениям п (энергию е в символах состояний будем для краткости опускать). В силу унитарности этого преобразования (см. III, § 12) коэффициенты обратного преобразования
(JMk | п^) = (пА, | JMk)*. (68,4)
По общему правилу преобразования матриц эти же коэффици-
енты определят связь между элементами 5-матриц в обоих представлениях:
(п'к' |5| пЯ.)= Z (п'к' \ JMk') (JMk' |51 JMk) (JMk | пХ). (68,5) ш
Коэффициенты разложения (68,3) легко найти с помощью результатов § 16.
Пусть волновые функции всех состояний выражены в импульсном представлении, т. е. как функции направления импульса (при заданной энергии); это направление как независимую переменную обозначим v в отличие от направления п как квантового числа состояния. В этом представлении волновая функция имеет вид (16,2)
4>nx(v) = HW6(2)(v-n). (68,6)
При подстановке (68,6) в разложение (68,3) последнее сводится к одному члену:
= (68,7)
Спиральность ка и кь каждой из двух частиц определяется как проекция ее спина на направление ее же импульса. Если импульсы частиц ра = р, р*=—р, то для первой частицы это — направление п, а для второй — направление —п. Если рассматривать теперь систему как одну частицу со спиральностью А в направлении п, то А = ка— кь. Ее волновая функция (в импульсном представлении) может быть представлена согласно
(16,4) в виде _______
Ъмь (V) = u{K)dTm (V) д/. (68,8)
Сравнив выражения (68,7—8) (и изменив обозначение переменной v на п), получим для искомых коэффициентов
(пк | Шк) = д/^±1 D% (П).
(68,9)
§ 68] РАЗЛОЖЕНИЕ по парциальным амплитудам 305
Подстановка этих коэффициентов в (68,5) дает
(ПХ IS | пя.) = ? ^?1 D\[lM (n') D% (п) (Я/ 1S' | К), (68,10)
ш
А = Ха А = Кс Кд,
где использовано сокращенное обозначение (68,2). Выберем направление п в качестве оси г\ тогда
D[\m (п) = 6 хм
и (68,10) принимает вид
<«Л' 151 пЯ.) = ? D^'a (п') (Г | S' | Л). (68,11)
/
Мы видим, что разложение по парциальным амплитудам осуществляется с функциями ?>л'л в качестве коэффициентов. Для реакции вида (68,1) удобно определить амплитуду рассеяния / таким образом, чтобы сечение (в системе центра инерции) было
da = \(n'X'\f\nl)\2do' (68,12)
(сравнением с (64,19) можно связать эту амплитуду с матричным элементом Мц), Ее разложение по парциальным амплитудам напишем в виде
(п'а/1 /1 пй.) = z (2/ + 1) Dl(п') D% (п) (Я.' | ГI я), (68,13)
11Л
или, выбирая ось г вдоль направления п:
(п'Г | /1 пЛ>= ? (2/ + 1)?><()Л (п0| | К). (68,14)
Эта формула представляет собой обобщение обычного разложения по парциальным амплитудам для рассеяния бесспиновых частиц (см. III (123,14)). Поскольку D$ = PL (cos 0), при равных нулю спинах (68,14) сводится к разложению по полиномам Лежандра
