Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Mfl=Tdfn(s, t)Fn, (70,2)
П
где Fn — инварианты, линейно зависящие от волновых амплитуд всех участвующих частиц (а также от их 4-импульсов). Коэффициенты fn(s,t) называют инвариантными амплитудами.
Выбрав волновые амплитуды так, чтобы они отвечали частицам с определенными спиральностями, мы получим определенные значения инвариантов F„ = Fn(Xi Kf). Тогда спиральные амплитуды рассеяния представятся в виде линейных однородных комбинаций инвариантных амплитуд Отсюда видно, что число независимых функций f„(s, t) совпадает с числом независимых спиральных амплитуд. Поскольку число последних определяется легко (как было объяснено в § 69), тем самым облегчается задача построения инвариантов Fn, — мы заранее знаем, сколько их должно быть.
314
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VII
Рассмотрим некоторые примеры. Во всех примерах будем считать, что взаимодействие Г- и Р-инвариантно; последнее свойство означает, что инварианты F„ должны быть истинными (а не псевдо) скалярами.
Рассеяние частицы со спином 0 на частице со спином */2
Для подсчета числа инвариантов — или, что то же, числа независимых спиральных амплитуд — замечаем, что полное число элементов матрицы S‘ (т. е. число различных наборов чисел Яр А2, Ар А') в данном случае равно 4 = к[ = О, А2, А' = ±‘/г)
С учетом Р-инвариантности число независимых элементов сводится к двум, после чего учет Г-инвариантности уже не меняет этого числа.
В качестве двух независимых инвариантов можно выбрать F^u'u, F2 = a'(yK)u. (70,3)
Здесь и = и(р), и'= и(р') —.биспинорные амплитуды начального и конечного фермионов; К = k + k', где k и k' — 4-импульсы начального и конечного бозонов ’).
Г-инвариантность величин (70,3) станет очевидной, если заметить, что произведения й'и и й'у^и преобразуются при обращении времени по тому же закону (28,6), что и операторы
¦фф и матричными элементами которых они являются:
произведение й'и инвариантно само по себе, а 4-вектор й'уи преобразуется по закону
й'у°и -*¦ й'у°и, й'уи -у — й'уи.
Таким же образом преобразуются 4-импульсы (/С0, К)-> -»-(К°,—К), и скалярное произведение F2 = ^(й'у^и), следовательно, инвариантно.
Упругое рассеяние двух тождественных частиц со спином ‘/г
Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд удобно исходить из линейных комбинаций спиральных состояний:
Ф,г = 'Ф++ + ’1’__, Ф2г = 'Ф++ —
________________ 'Ф„ = 'Ф+_-¦*_+,
') На первый взгляд можно было бы составить еще инвариант вида u'a^yk^k'^u (матрицы q^v определены в (28,2)). Легко, однако, убедиться в его сводимости к инвариантам (70,3), если учесть закон сохранения к’ = р + к — р' и уравнения
(ур) и = mu, й' (ур') = шй', которым удовлетворяют биспинорные амплитуды.
S 701
ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ
315
где индексы «+», «—» указывают значения спиральностей (±72) двух частиц. Состояния lg, 2g, 3g четны, а состояние и нечетно по отношению к перестановке частиц. Поэтому переходы g ¦*-*¦ и запрещены, так что с учетом перестановочной симметрии остается 16 — 6= 10 матричных элементов. По отношению к инверсии Р функции tpig, tj>3g и ty2g имеют противоположные четности; запрещение переходов между ними уменьшает число независимых амплитуд до шести. Наконец, Г-инвариантность приводит к совпадению амплитуд переходов lg->-3g и 3g-> lg, так что остается всего пять независимых амплитуд. В качестве пяти независимых инвариантов можно выбрать
р 1 = («?“*). f2 = (“W4) (“'v4)>
^3 = («y«i) (й2%и2)’ /74 = (“ivV«i)(«,2YuY4). (70,4)
^* = (fi^vMi)(^<V«2),
где Mi, «2 — биспинорные амплитуды начальных, а и[, и' — конечных частиц. Перестановка начальных (или конечных) частиц не приводит к новым инвариантам: новые инварианты выражаются через старые (см. задачу к § 28). Но выражение (70,2) с Fn из (70,4) не учитывает в явном виде требования, согласно которому перестановка двух тождественных фермионов должна менять знак амплитуды рассеяния. Удовлетворяющее этому требованию выражение можно записать в виде
Mfi = [(«X) (й'2и2) /, (/, и) - (й2их) (й\и2) fl (и, /)] + ... (70,5)
При перестановке р\ я р2 (или р\ и р2) кинематические инварианты: s —> s, t -> и, и-+1, так что указанное требование выполняется автоматически.
Упругое рассеяние фотона на частицах со спином 0 и '/2
Амплитуду этих процессов целесообразно выразить с помощью единичных пространственноподобных 4-векторов ew, е(2\ удовлетворяющих условиям
е(1)2==е(2)2=_1> е(1)е(2) = 0>
еЩ = ёЧ =-- 0, e{l)k' = ФЧ' = 0 (70,6^
(для каждого из двух фотонов эти 4-векторы могут служить теми 4-ортами, с помощью которых осуществляется инвариантное описание их поляризационных свойств — см. § 8).
Пусть k иАг' — начальный и конечный 4-импульсы фотона, а р и р' — то же для рассеивающей частицы. Рассмотрим
316
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VII
4-векторы
= + N^ = e^Pfig^pt (70,7)
где
К = k + k', q — р — р' = k' — k.
Они очевидным образом взаимно ортогональны. Они ортогональны также 4-векторам К, q, а следовательно, и k, k'. Будучи ортогональны времениподобному 4-вектору К (К2 = 2kk' > 0), они сами пространственноподобны (действительно, в системе отсчета, в которой К = 0, из КР = 0 следует, что Ро = 0, а потому Р2 < 0). Пронормировав Р и N, т. е. образовав
