Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
§ 67] ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ 299
чення s, t, и, изображающиеся (с соответствующими знаками) длинами перпендикуляров, опущенных на три оси. Выполнение условия s + / -f- и = h обеспечивается при этом известной геометрической теоремой (если высота равностороннего треуголь-
ника равна h) ').
Рассмотрим важный случай, когда основному (s) каналу отвечает упругое рассеяние; при этом массы частиц попарно одинаковы:
т1=тъ = т, т2 — т4 = ц. (67,7)
Пусть т > ц. В условии (67,5) имеем
h = 2 (т2 + jj,2), а = с = О, b = (т2 — ц2)2,
так что
su^>(m2 —ц2)2/. (67,8)
Граница области, определяемой этим неравенством, состоит из прямой t = 0 и гиперболы
su = (т2 - II2)2, (67,9)
две ветви которой лежат в секторах и < О, s < О и s>0, и > 0; оси s = 0 и м = 0 являются асимптотами гиперболы. Вместо (67,8) можно написать
t > 0, su > (т2 — ц2)2
ИЛИ t < 0, su < (т2 — ц2)2.
Кроме того, из условий (67,2) надо дополнительно учесть неравенство s > (т -f- ц)2 в s-канале и «>(т + ц)2 в «-канале; остальные неравенства удовлетворяются после этого автоматически. В результате найдем, что каналам I, II, III (s, t, и) отвечают, как говорят, физические области, изображенные на рис. 6 штриховкой.
Если ц = 0 (частицы 2, 4 — фотоны), то нижняя ветвь гиперболы касается оси 1 = 0 и физические области выглядят, как показано на рис. 7.
') Соединив, например, точку Р (рис. 5) с тремя вершинами треугольника ЛВС, мы разобьем его на три треугольника с высотами s, t, и; приравняв сумму их площадей площади треугольника ABC, найдем требуемое равенство. Аналогичным образом оно доказывается и в случае, когда точка Р лежит вне треугольника ABC.
u=(m+/if s=(m+ju)2' s=(m-fi)z u=(m-fi)z
Рис. 6
300
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
(ГЛ. VIII
Если же т = \i, то границы области (67,8) вырождаются в координатные оси и физическими областями являются показанные на рис. 8 три сектора.
В общем случае четырех различных масс уравнение
stu = asЫси (67,10)
определяет кривую третьего порядка, ветви которой ограничи-
Рис. 9
вают физические области трех каналов, как показано на рис. 9. Пусть
m4.
Тогда
a^b^c, а > 0, Ь> 0.
Кривая (67,10) пересекает координатные оси в точках, лежащих на прямой
as + bt + си = 0
(ем. пунктирные линии на рис. 9). В зависимости от знака с она проходит, как показано на рис. 9. При с < 0 физическая
ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ
301
область и-канала захватывает часть площади координатного треугольника; другими словами, в этом случае величины s, t, и могут быть одновременно положительными. Все три ветви граничной кривой имеют в качестве асимптот соответствующие координатные оси (в этом легко убедиться, исключив из уравнения (67,10) одну из переменных с помощью соотношения s t + и — h и устремив затем Одну из оставшихся переменных к бесконечности). Условия (67,2) не вносят в общем случае ничего нового по сравнению с границами^. устанавливаемыми уравнением (67,10). Прямые линии, соответствующие знакам равенства в (67,2), не пересекают заштрихованных на рис. 9 физических областей; некоторые из них касаются границ этих областей, отвечая экстремальным значениям переменных s, t или и в соответствующем канале.
В случае, когда масса одной из частиц больше суммы масс трех остальных (mi > m2 -f- m3 + m4), наряду с каналами I, II,
III возможен еще четвертый канал реакции, отвечающий распаду:
IV) 1 -> 2 + 3 + 4. (67,11)
Для этого канала в системе покоя распадающейся частицй
<7i = (mi, 0), q2 = (—е2, р2), <7з~( ез> Рз)> Qi = ( е4> р4)>
е2 + е3 + ^4 = mi, р2 + рз + р4 = 0.
Инварианты:
s == mi + m2 — 2mie2,
(= mf + ml — 2mie3, и = mf + m4 — 2mi84.
Из (67,1) получим теперь:
(m3 + m4)2 < s < (mi — m2)2,
(m2 + m4)2 < t ^ (mi — m3)2,
(m2 + m3)2 (mi — m4)2.
Таким образом, все три инварианта положительны, т. е. физическая область канала распада находится внутри координатного треугольника.
Задачи
1. Найти физические области в случае трех одинаковых масс: т, нэ т, т2 = т3 = т4 = ц (например, реакция К + я л + я).
Решение. Уравнение (67,10) принимает вид
siu = |i2 (m2 — Ц2)2, (1)
причем
s + t + и = Зц2 + /п2.
(67,12)
(67,13)
302 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ [ГЛ. VIР
Области I, И, III ограничены' одинаковыми по форме кривыми {для I: s > 0, t < 0, и < 0, и аналогично для II и III). Если т > Зц, то (1) имеет также ветвь (замкнутую кривую) с s > 0, / > О, и > О — границу области канала IV (рис. 10).
2. То же в случае т\ = т, т2 = ц, та = mt = 0, т > р. (например, реакция ц -f- v -*¦ е + v).
Решение. Условие (67,5) принимает вид
stu ^ m!^i2s,
причем s + t + и = т2 + Ц2- Физические области ограничены осью s = 0 и двумя ветвями гиперболы tu = т2ц2 (рис. 11).
3 То же в случае rtii = т3 == т, тг = 0, т4 зе ц, причем т > 2ц (например, реакция р + у-*- Р + яа).
Решение. Уравнение границ (67,10) принимает вид stu = a (s + и) + bt, ah = тгц4, bh = m4 (2т2 — jx2), h = 2tn2 + ц2.
Исключив и, получим
12 + + 5_Л) ‘+ v^0-
При заданном s это — квадратное уравнение для t. При s> (m + ц)г (область s-канала) каждому s отвечают два отрицательных значения t. При s = (т + ц)2 эти два корня квадратного уравнения сливаются в один;
