Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Оператор электромагнитного взаимодействия был написан уже в § 43:
V = e\(jA)d3x. (72,11)
Подставив его в (72,9), получим
S = Texpj — ie ^ {jA)d4x J. (72,12)
') Вывод правил релятивистской теории возмущений с помощью разложения (72,10) принадлежит Дайсону (F. Dayson, 1949).
326
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. VIII
Существенно, что оператор (72,12) релятивистски инвариантен. Это видно из скалярности подынтегрального выражения, инвариантного характера интегрирования по d4x и инвариантного характера операции хронологизации. Последнее обстоятельство требует, однако, разъяснения.
Как известно, последовательность двух моментов времени t\ и t2 (знак разности t2— ^i) не зависит от выбора системы отсчета, если эти моменты относятся к мировым точкам х\ и х2, разделенным времениподобным интервалом: (х2 — Х\)2 > 0.
В таком случае инвариантность хронологизации автоматична. Если же (х2 — Х\)2 < 0 (пространственноподобный интервал), то в разных системах отсчета может быть как t2 > tu так и U < /, >). Но такие две точки отвечают событиям, между которыми не может существовать причинной связи. Очевидно поэтому, что не могут быть некоммутативными операторы двух физических величин, относящихся к таким точкам: некоммутативность операторов физически означает совместную неизмеримость данных величин, что предполагает наличие физической связи между обоими измерениями. Следовательно, хронологичность произведения останется инвариантной и в этом случае: хотя преобразование Лоренца может нарушить последовательность моментов времени, но ввиду коммутативности множителей их можно переставить обратно в хронологический порядок2).
Легко видеть, что данное в этом параграфе определение
S-матрицы автоматически удовлетворяет условию унитарности. Представив 5 в виде хронологического произведения, фигурирующего в (72,6), и учитывая эрмитовость V, найдем, что S+ выражается произведением таких же множителей ехр (г 6/аХ Xl^O (с обратным знаком в показателе) в хронологически
') Вместо времениподобных и пространственноподобных интервалов часто говорят для краткости об областях соответственно внутри и вне светового конуса: все точки х, отделенные от точки х' интервалом с (х — *')2>0, находятся внутри двуполостного конуса с вершиной в точке х', а точки, отделенные интервалом с (х — х')2 < 0, — вне этого конуса.
2) В применении к произведению V (ti) V U2) ¦¦¦ это утверждение надо уточнить во избежание недоразумений. Поскольку сам оператор V не обладает калибровочной инвариантностью (он меняется вместе с А), множители
V (ti), V (?2)... коммутативные при одной калибровке потенциала, мо-
гут оказаться некоммутативными при другой калибровке. Сделанные выше утверждения надо поэтому сформулировать как возможность такого выбора калибровки потенциала, при котором V (t 1) и V (?2) вне светового конуса будут коммутативны. Эта оговорка, очевидно, никак не сказывается на инвариантности S-матрицы: амплитуды рассеяния как реальные физические величины вообще не могут зависеть от калибровки потенциала (формально эта независимость следует из отмеченной в § 43 калибровочной инвариантности интеграла действия).
S 731 ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 327
абратном порядке. Поэтому при перемножении S и S+ все множители попарно сокращаются.
Обратим внимание на то, что унитарность оператора S обеспечивается в данном случае эрмитовостью гамильтониана. Но требование унитарности имеет в действительности более общий характер, чем предпосылки, лежащие в основе излагаемой теории. Оно должно было бы выполняться и при квантовомеханическом описании, не использующем понятий о гамильтониане и волновых функциях.
§ 73. Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов
Покажем на конкретных примерах, каким образом осуществляется вычисление элементов матрицы рассеяния. Эти примеры облегчат дальнейшую формулировку общих правил инвариантной теории возмущений.
Оператор тока j содержит произведение двух электронных ¦ф-операторов. Поэтому в первом порядке теории возмущений могли бы возникнуть процессы, в которых участвуют всего (в начальном и конечном состояниях) три частицы — два электрона '(оператор j) и один фотон (оператор А). Легко, однако, видеть, что такие процессы между свободными частицами невозможны— они запрещены законом сохранения энергии и импульса. Если р] и р2— 4-импульсы электронов, a k — фотона, то сохранение 4-импульса изображалось бы равенством k = р2 — pi или k = р2 + р 1. Но такие равенства невозможны, так как для фотона k2 = 0, а квадрат (p2±pi)2 заведомо отличен от нуля. Действительно, вычисляя значение инварианта (p2±pi)2 в системе покоя одного из электронов, получаем
(р2 ± Pi)2 = 2 (m2 ± PiP2) = 2 (m2 ± е:е2 =F PiP2) = 2m (m ± e2). Поскольку e2 >m, то
(P« + Pi)2>0, (p2 Pi)2 < 0. (73,1)
Таким образом, первые неисчезающие (недиагональные) элементы S-матрицы могут появиться лишь во втором порядке теории возмущений. Все относящиеся сюда процессы содержатся в операторе второго порядка, получающемся при . разложении выражения (72,12):
§(2)•т 6“ ^•
