Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
дгА. рА.
=____Z---- р(2)А =_______ Г7П8Ъ
е ’ е мы получим пару 4-векторов, обладающих всеми требуемыми свойствами. Отметим, что е(2> — истинный, а е(1> — псевдовектор. Представим амплитуду рассеяния фотона в виде
(70,9)
выделив в ней 4-векторы поляризации е и е' начального и конечного фотонов.
Спиральность фотона пробегает всего два значения (±1). Поэтому для рассеяния фотона на частице со спином 0 число независимых спиральных амплитуд такое же, как для взаимного рассеяния частиц со спином 0 и 1/2, т. е. равно 2. Тензор F*-n в (70,9) должен быть построен только из 4-импульсов частиц. Его можно представить в виде
= (70,10)
где fu /2 — инвариантные амплитуды. Обратим внимание на то, что в F1» не может быть члена с произведением так
как это произведение — псевдотензор и при подстановке в (70,9) дало бы псевдоскаляр.
Наконец, рассмотрим рассеяние фотона на частице со спином 1/2. Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд замечаем, что полное число элементов матрицы SJ в этом случае есть 16 (спиральность каждой из двух начальных и двух конечных частиц пробегает по два значения). Требование Р-инвариант-ности уменьшает это число до 8; после чего требование Г-инва-риантности доводит его до 6.
Представим тензор F№ в этом случае в виде
Гы - О„ + о, (4У» + ед +
+ ОгM'ejfl - ef'e»') + Ga[fiK' ~ "?<?)¦ <7(М »
§70] ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ 317
где G0, G3— истинные, a Gi, G2 — псевдоскаляры. Те и другие билинейны относительно биспинорных амплитуд фермионов й(р') и и(р), т. е. имеют вид
Gn = u(p')Qnu(p). (70,12)
Общий вид матриц (по биспинорным индексам) Qn:
Qo = fi + h (уЮ, Q, = Y5 [h + /4 (y*)],
Q2 = Y5[/5 + /6(Y^)], Qs = f? + fs(yK), ( }
где K = k + k'. Коэффициенты fi, .fs — инвариантные амплитуды, число которых получилось здесь равным 8 (вместо нужного 6) ввиду того, что еще не учтено требование Г-инвариантности.
Обращение времени переставляет начальные и конечные 4-импульсы частиц, меняя также знаки их пространственных компонент:
(К к) *-*• ~ к')> (Ро> Р) ¦*"*¦ (Ро> ~ Р'); (70,14)
4-векторы поляризации фотонов преобразуются согласно
(е0. е)^->(е'*, -е'*) (70,15)
(ср. (8,11а)), так что
(е0 е0’ ei е0’ е1 ек) (е0 е0’ е0 ei> ек ei)•
В силу последнего преобразования условие инвариантности амплитуды рассеяния (70,9) эквивалентно требованию
(^00. Fl0, F{k)->-(Fm, Fol, Fki).
С другой стороны, как следствие замен (70,14) имеем
(*о. К) -»> (Ко, — К), (?о, q) (— Яо, q),
(Р0, Р) -> (Ро, - Р), (No, N) -> (No, - N),
так что
(e(i.2), е<1,2>) (е<1,2), _еп.2)). (70,16)
Из выражения (70,11) следует поэтому, что должно быть
Go, 1,з ~Go, 1,з, G2—> — G2.
Но при обращении времени
-*¦ — й'у5и, й'у5 (yК) и -> й'у5 (уК) и,
как это ясно из законов преобразования псевдоскалярных и псевдовекторных билинейных форм в (28,6). Поэтому из выражений (70,12—13) видно, что в силу Г-инвариантности амплитуды рассеяния должно быть
/з = /б = 0. (70>17)
318
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VII
§ 71. Условие унитарности
Матрица рассеяния должна быть унитарной: 55+= 1, или в матричных элементах:
(ss+)„=E <7wi
где индекс п нумерует все возможные промежуточные состояния1). Это — наиболее общее свойство 5-матрицы, которым обеспечивается сохранение нормировки и ортогональности состояний при реакции (ср. III, § 125, 144). В частности, диагональные элементы равенства (71,1) выражают просто тот факт, что сумма вероятностей перехода из данного начального в любое конечное состояние равна единице:
ZisBIp=i.
п
Подставив в (71,1) матричные элементы в виде (64,2), получим
Т„-П, = 1 (2л/ 2 »™(Р, -р„) Т1пГ,п =
п
= i(2nyZv*(Pf-Pn)rnfTnt. (71,2) ft
Написанные здесь две эквивалентные формы правой стороны равенства получаются при записи условия унитарности соответственно в виде 55+ = 1 или 5+5 = 1, с разными порядками расположения множителей 5 и 5+.
Обратим внимание на то, что левая сторона этого равенства линейна, а правая квадратична по матричным элементам Т. Поэтому если взаимодействие (как, например, электромагнитное) содержит малый параметр, то левая сторона будет первого, а правая — второго порядка малости. В первом приближении последней можно, следовательно, пренебречь, и тогда
Tft = T'tf, (71,3
т. е. матрица Т эрмитова.
Для придания условию унитарности (71,2) более конкретного вида надо уточнить, что именно подразумевается под суммированием по п. Сделаем это для столкновения двух частиц, причем будем считать, что законы сохранения допускают только
') Смысл символа 6ft в (71,1) зависит, конечно, от конкретного выбора квантовых чисел и от нормировки волновых функций системы. Он должен быть определен так, чтобы было ^ 6^ = 1.
§ 71] УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ 319
упругое рассеяние; тогда и все промежуточные состояния в
(71,2) —такие же «двухчастичные». Суммирование по ним означает интегрирование по промежуточным импульсам р", р'2' и суммирование по спиновым квантовым числам (например, спи-ральностям) обеих частиц, которые обозначим к":
V f v4'-p”d^p'i ^
L>~* J (2я)а la'
n X"
Исключив б-функции тем же способом, как это делалось в § 64, получим «двухчастичное» условие унитарности в виде
