Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку электронные и фотонные операторы коммутативны друг с другом, фигурирующее здесь Г-произведение можно
328
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ
[ГЛ VIII
разбить на два Г-произведения:
S<2) = - Ж \ \ ¦ Т O'1 (X) 7v (X')) Т(Д„ (х) Л, (/)). (73,2)
В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с 4-импульсами р\ и р2, а в конечном — два электрона с другими 4-импульсами рг и /э4. Подразумевается также, что все электроны находятся в определенных спиновых состояниях; индексы спиновых переменных для краткости везде опускаем.
Поскольку в обоих состояниях фотоны вообще отсутствуют, нужный нам матричный элемент Г-произведения фотонных операторов есть диагональный элемент <0| ... 10), где символ |0> обозначает состояние фотонного вакуума. Это среднее по вакууму значение Г-произведения представляет собой определенную (для каждой пары индексов (iv) функцию координат двух точек х и х'. При этом в силу однородности 4-пространства координаты могут входить лишь в виде разности х — х'. Тензор
Dpv (х - х') = / (0 | Т (х) Av (х') 10) (73,3)
называют фотонной функцией распространения (или фотонным пропагатором). Явное выражение для нее будет получено в § 76.
Для Г-произведения электронных операторов нам надо вычислить матричный элемент
(34 | Ту*1 (я) y'v (х') | 12), (73,4)
где символы 112), 134) обозначают состояния с парами электронов с соответствующими импульсами. Этот элемент тоже может быть представлен в виде среднего по вакууму с помощью очевидного равенства
<2|Л1)-<0|а/а+|0>,
где F — произвольный оператор, а и й2- операторы соответственно рождения первого и уничтожения второго электрона. Поэтому вместо (73,4) можно вычислять величину
(01 аз aj (f (х) yv (х')) at at I 0) (73,5)
(индексы 1, 2, ... для краткости заменяют р\, р2, ...).
Каждый из двух операторов тока есть произведение у = а каждый из ф-операторов представляется суммой
Ф = ? (<ЗрФр + К^-р), Ф = ? (а^р + М-р) (73,6)
р р
(вторые члены содержат позитронные операторы, которые в данном случае «не работают»). Поэтому произведение у11 {х)}v (х')
§73] ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ 329
представляется в виде суммы членов, каждый из которых содержит произведение двух операторов йр и двух Эти операторы должны обеспечить уничтожение электронов 1, 2 и рождение электронов 3, 4. Другими словами, это должны быть операторы &v й2, d+, й+, которые, как говорят, свертываются с «внешними» операторами й?, й3, ai в (73,5) и сокращаются согласно равенствам
(0|ара+|0)=1. (73,7)
В зависимости от того, и!з которых ф-операторов берутся d1( й2, d+, й+, в (73,5) возникают четыре члена
(73,5) = а а (г^^) (^>'yV) atat + аза4 (МЧ1) (^W) а+а+ +
+ a a, (\j)Y^) (^W) а2+а+ + аза4 (VvV) a+a+, (73,8)
где г|з = г|з(л:), гр' = if(*'), а дугами соединены свертываемые операторы, т. е. те, из которых берется пара операторов а, а+ для сокращения согласно (73,7). В каждом из этих членов последовательными перестановками операторов аи d2, ... приводим сопряженные операторы к попарному соседству (й{й^ и т. п.), после чего среднее значение их произведения сводится к произведению средних значений (73,7). Учитывая, что все эти операторы антикоммутативны (1, 2, 3, 4 — различные состояния!) *), найдем, что матричный элемент (73,4) равен
(34 | Т/* (х) Г (х') 112) = (^4y42) ('М'Чг) ~
— №3^2) (^Yv4>0 — (^4^1) (73>9)
Отметим, что общий знак этой суммы условен и зависит от порядка, в котором мы расположили «внешние» электронные операторы в (73,5). Это обстоятельство соответствует тому, что общий знак матричного элемента для рассеяния тождественных фермионов вообще произволен. Относительный же знак различных членов в (73,9) от принимаемого порядка расположения внешних операторов, конечно, не зависит.
Два члена в первой и второй строках (73,9) отличаются друг от друга лишь одновременной перестановкой индексов ц, v и ар-
') Ввиду этой антикоммутативности операторы j (х) и ](х') можно в данном случае считать (при вычислении матричного элемента) коммутативными и опустить знак 7-произведения.
330
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
[ГЛ. VIII
гументов х, х'. Тайая перестановка не изменит, очевидно, и матричный элемент (73,3) (в котором порядок множителей все равно устанавливается символом Т). Поэтому после перемножения (73,3) и (73,9) и интегрирования по dixdix' четыре члена в
(73,9) дают попарно одинаковый результат, так что матричный элемент
St‘= /е2 S S • Dw (х “ *') {(Ъ^2) (^Syv4>0 -“ (^Y^i) (^Y^)} (73,Ю)
fобратим внимание на исчезновение множителя 1/2!).
Электронные волновые функции — плоские волны (64,8), поэтому выражение в фигурных скобках
{...} = (й4у^«2) (u3yvul) е~1 (й-й)*-* (pi-p»)*' —
— feY^l) (W3YVW2) f fPi—Р*)д:—f <Pa—Рз)лс* __
— («sYVui) e~‘ —
— (U4YllU1) (u3YVM2) e~l 1(р1-р')+(рз—pa)l 1/2}'g-* (Oi+рз—рз—pt)X^
где X = (x + x') /2, ? = *— x'. Интегрирование no dixdix' заменяется интегрированием no d4ld*X. Интеграл no d4X дает 6-функ-цию (в силу которой pi + р2 = Рз + Ра) . Перейдя затем от матрицы 5 к матрице М (см. § 64), получим окончательно для
