Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(в правой стороне равенства (2) надо понимать 1 как единичную матрицу по спиновым переменным). В силу Г-инвариантности матрица Sjm симметрична, a SY„=S„Y. Выберем матрицу Sjm в диагональной форме, т. е. по отношению к состояниям пиона с определенными четностями; тогда из (2) сле-
2(«_
дует, что диагональные элементы имеют вид е п с различными постоянными После этого находим из (1) для каждого из элементов матрицы
(ziN\S\yN) = Sny, <vAMS|yA0 = Syy, <nJV | S | nN) = Sn„
(1)
(2)
откуда
S„Y = ± I s„v I ie\
Таким образом, фаза парциальной амплитуды фоторождения (в состояние с определенной четностью) определяется фазой упругого пЛ^-рассеяния.
ГЛАВА VIII
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
§ 72. Хронологическое произведение
Вероятности различных процессов при столкновениях частиц, взаимодействие между которыми можно считать малым, вычисляются с помощью теории возмущений. В своей обычной (для нерелятивистской квантовой механики) форме аппарат этой теории обладает, однако, тем недостатком, что в нем не выявляются явным образом требования релятивистской инвариантности. Хотя при применении такого аппарата к релятивистским задачам окончательный результат и будет удовлетворять этим требованиям, но неинвариантная форма промежуточных формул существенно усложняет вычисления. Настоящая глава посвящена развитию свободной от этого недостатка последовательной релятивистской теории возмущений; она была построена Фейнманом (R. P. Feynman, 1948—1949).
Имея в виду вторично квантованное описание системы, обозначим Ф ее волновую функцию в представлении чисел заполнения различных состояний свободных частиц. Гамильтониан системы H — H0-\-V, где V—оператор взаимодействия. Пусть Фл — собственные функции невозмущенного гамильтониана; каждая из них отвечает некоторым определенным значениям всех чисел заполнения. Произвольная функция Ф представляется в виде разложения Ф—^,СпФп. Тогда точное волновое уравнение
/-^-= (//„+ 9)ф (72,1)
представится в виде системы уравнений для коэффициентов Сп: iCn = Е Vnm ехр [/ (Еп - Ет) (} Ст, (72,2)
т
где Vnm — не зависящие от времени матричные элементы оператора V, а Еп — уровни энергии невозмущенной системы (ср. III,
§4°).
По определению оператор V не зависит явно от времени. Величины же
V пт (0 = У пт ехр [г (Еп — Ет) /] (72,3)
324 ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ [ГЛ. VIII
можно рассматривать как матричные элементы зависящего от времени оператора
V (t) = exp(iH0t) Уехр(— iH0t). (72,4)
О нем говорят как об операторе в представлении взаимодействия (в отличие от исходного не зависящего от времени шре-дингеровского оператора У1)). Обозначив теперь прежней буквой Ф волновую функцию в этом новом представлении, запишем уравнения (72,2) в символическом виде
/ф = V (t) Ф. (72,5)
Изменение волновой функции в этом представлении связано лишь с действием возмущения, т. е. отвечает процессам, происходящим благодаря взаимодействию частиц.
Если Ф(/) иФ(/ + б0 — значения Ф в два" бесконечно близких момента времени, то в силу (72,5) они связаны друг с другом посредством
Ф(/ + 6/) = [1 -ibt-V (/)] Ф (t) = exp [- idt-V (/)] Ф (t).
Соответственно значение Ф в произвольный момент tf может быть выражено через значение в некоторый начальный момент tt (tf > ti) как
Ф(^) = {Пехр[—/б/в.У (/„)]]Ф(/г), (72,6)
где знак П означает предел произведения по всем бесконечно малым интервалам бta между U и tf. Если бы У(<) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к
Н -j
— *$7(0<й[. h >
Но такое сведение основано на коммутативности множителей (взятых в различные моменты времени), подразумевающейся при переходе от произведения в (72,6) к суммированию в экспоненте. Для оператора V(t) такой коммутативности нет, и сведение к обычному интегралу невозможно.
1) Подчеркнем, что в определении (72,4) фигурирует невозмущенный гамильтониан Й0¦ Этим оно отличается от гейзенберговского представления операторов, в котором
Vй (/) = exp (ifft) К exp (— iHt)
{см. III, § 13 и ниже, § 102).
§ 72] ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 325
Напишем (72,6) в символическом виде
Ф(//)= Texpj— i ^ V (() dt | Ф (ti), (72,7)
где Т — символ хронологизации, означающий определенную
(«хронологическую») последовательность моментов времени в последовательных множителях произведения (72,6). В частности, положив --------оо, |—оо, получим
ф(+ оо) =5Ф(- оо), (72,8)
где
S — Техр| — i J V{t)dt\. (72,9)
V —ОО '
Смысл записи (72,7—9) формально точного решения волнового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет легко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням ьозмущения:
OQ ОО ОО оо
-Т S S dt> ••• \ dtk-l{V{t{)V{t2) ... V{tk)}.
k=Q —оо —оо —оо
(72,10)
Здесь в каждом члене k-я степень интеграла написана в виде ^-кратного интеграла, а символ Т означает, что в каждой области значений переменных t\, t2, ..., tk надо располагать соответствующие операторы в хронологическом порядке справа налево в порядке возрастающих значений t *).
Из определения (72,8) ясно, что если до столкновения система была в состоянии Ф,- (некоторая совокупность свободных частиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние (другая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент Sfi. Другими словами, эти элементы и составляют S-матрицу.
