Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(.-.„,)!+г;/4- <63'3)
Другими словами, форма линии рассеяния будет совпадать с естественной формой линии при спонтанном испускании с уровня Еп.
Сечению (63,1) отвечает тензор рассеяния
X) {^дт (dk)nl
= соп1 - со - (Гл/2 * ^63,4^
В частности, тензор поляризуемости
(di)\n (dk)n\
aik = (Cjft)n = _ iTn/2 ¦ (63,5)
Сразу же отметим, что прибавление мнимой части к уровням энергии промежуточных возбужденных состояний нарушает эр-митовость тензора поляризуемости и при частотах ниже порога ионизации. У него появляется мнимая часть, непосредственно связанная с поглощением света.
Поглотив квант, атом рано или поздно вновь перейдет в основное состояние с испусканием одного или нескольких фотонов. Поэтому с такой точки зрения сечение поглощения есть просто полное сечение о/ всех возможных процессов рассеяния '). Сдру-гой стороны, согласно формуле (59,25), выражающей собой оптическую теорему, это сечение определяется антиэрмитовой частью тензора поляризуемости.
Подставив в (59,25) тензор аш из (63,5), найдем следующую формулу для сечения поглощения фотона частоты со, близкой С0л1^
0(ПОГЛ) =4jl2^|d е|2и -----r„/S! (63j6)
jr1 4(“-“*i) +тп/ц
n
В пределе Гп->0 последний множитель в этой формуле стремится к б-функции б(со — сощ), в соответствии с тем, что в этом
') Подчеркнем, что речь идет о поглощении системой, находящейся в стабильном, основном состоянии. Ввиду конечности времени опыта постановка вопроса для возбужденного состояния была бы другой.
284 РАССЕЯНИЕ СВЕТА [ГЛ. VI
случае может поглощаться лишь фотон строго определенной частоты. Пусть на атом падает свет со спектральной и угловой плотностью потока энергии /ке(ср. (44,7)). Тогда плотность потока числа фотонов равна —-dcodo, и вероятность поглощения
didпогл) — 0(погл) Ьи_ fa do. (63,7)
и 4
Если функция /ке(со) мало меняется на ширине Г„, то после интегрирования по частотам получим
dw{ПОГЛ) _ | dnle |2 /ке do.
Заметив, с другой стороны, что, согласно (45,5),
dw(cn)—^ Z |dine* '2 do ^ 'dn,e |2 do
fl ft
есть вероятность спонтанного испускания фотона частоты оы, мы вернемся к формуле (44,9).
ГЛАВА VII
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
§ 64. Амплитуда рассеяния
Общая постановка задачи о столкновениях состоит в том, чтобы по заданному начальному состоянию системы (некоторая совокупность свободных частиц) найти вероятности различных возможных конечных состояний (другие совокупности свободных частиц). Если символ |i> обозначает начальное состояние, то результат столкновения можно представить как суперпозицию
El f)(f\S\i), (64,1)
где суммирование производится по различным возможным конечным состояниям |/>. Коэффициенты этого разложения <f|5|t> (или в краткой записи Sfi) составляют матрицу рассеяния, или S-матрицу1). Квадраты |5fi|2 дают вероятности переходов в определенные состояния |/>.
В отсутствие взаимодействия между частицами состояние системы не менялось бы, чему соответствовала бы единичная
5-матрица (отсутствие рассеяния). Удобно всегда выделять эту единицу, представив матрицу рассеяния в виде
Sfi = 6„ + / (2л? 6<*> (Pf- Pt) Tfh (64,2)
где Тц — новая матрица. Во втором члене выделена четырехмерная 6-функция, выражающая закон сохранения 4-импульса (Pi и Pf — суммы 4-импульсов всех частиц в начальном и конечном состояниях); остальные множители введены для удобства в дальнейшем. В недиагональных матричных элементах первый член в (64,2) выпадает, так что для перехода i-+f элементы матриц S и Т связаны друг с другом соотношением
Sfl = i(2n)4^(Pf-Pi)T[t. (64,3)
Матричные элементы Tfh остающиеся после выделения 6-функции, будем называть амплитудами рассеяния.
При возведении модулей |5f,| в квадрат появится квадрат
6-функции. Его надо понимать следующим образом. 6-функция
*) От английского ^лова scattering или немецкого Streuung.
286
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
[ГЛ. VII
возникает от интеграла
б<Vf — Л) = (2^jT 5 е* (Pf'Pl) *d'X- (64-4)
Если же вычислять другой такой же интеграл при Pf = Pi (в силу наличия уже одной б-функции), причем распространить интегрирование по некоторому большому, но конечному объему V и интервалу времени t, то получится Vt/(2я)41). Поэтому можно написать
Разделив на /, получим вероятность перехода в единицу времени
Каждая из свободных частиц (начальных и конечных) описывается своей волновой функцией — плоской волной с некоторой амплитудой и (для электрона это — биспинор, для фотона— 4-вектор и т. п.). Амплитуда рассеяния Тц имеет структуру вида
Tf! — ulu]...Qulu2..., (64,6)
где слева стоят амплитуды волновых функций конечных, а справа — начальных частиц; Q есть некоторая матрица (по отношению к индексам компонент амплитуд всех частиц).
Наиболее важны случаи, когда в начальном состоянии имеется всего одна или две частицы. В первом случае речь идет
о распаде, во втором — о столкновении двух частиц.
Рассмотрим сначала распад частицы на произвольное число других частиц с импульсами р' в элементе импульсного пространства IX d3p'a (индекс а нумерует частицы в конечном состоянии, так что X Ра = Pf)- Число состояний, приходящихся на этот элемент (и на нормировочный объем V2), есть
