Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
м ~ . ., р2 М ~ .... /2 М ~ _ _ it2
М + + + + ~ 45т4 5 , + - 45щ4 I , М + _+_ ~ 45щ4 и ,
(127,20)
М+ +--------------jg^4- (s2 -j- t2 -j- «2), M+ + + _~0.
') Некоторые детали преобразований интегралов, различные представле-ния трансцендентных функций В, Т, I и их предельные выражения — см. De Tollis B.//Nuovo Cimento.— 1964. — Vol. 32.— P. 757; 1965. — Vol. 35.—* P. 1182; Costantini V., De Tollis B., Pistoni G.//Nuovo Cimento. — 1971. — Vol. 2A. — P. 733.
636 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. ХХГ
Подставив эти выражения в формулу (127,3), получим сечения рассеяния поляризованных фотонов. Дифференциальное же сечение рассеяния неполяризованных фотонов вычисляется согласно (127,13) и равно (в обычных единицах)
da= 4SW a"rK 5- )6 (3 + cos2 0) йо'’ (127 ’21 >
а полное сечение1)
ст== 7olftraV'&)6==0’031a^('^)6’ П(Л<^тс2- (127,22)
В обратном, ультрарелятивистском случае полное сечение рассеяния неполяризованных фотонов2)
<7 = 4,7<х4(-^у, ftco»mc2. (127,23)
Наконец, укажем дифференциальное сечение рассеяния на малые углы в ультрарелятивистском случае:
ТЙГ«<>«1- ('27.24)
Это выражение справедливо с логарифмической точностью —
следующий член разложения содержит на единицу меньшую сте-
пень большого логарифма. Для перехода к пределу 0 = 0 (рассеяние вперед) формула (127,24) непригодна. Вместо нее имеем здесь
= do, 0«^-. (127,25)
я-чо-* тс* ’ «со \ /
Это выражение легко получить с помощью общих формул
(127,18), положив в них ( = 0 и заметив, что при s » 1 наиболее высокую (вторую) степень большого логарифма содержит лишь функция
^т1п2-^ ^ 1п2—*
\ mr ) 4 т1 т
С этой точностью отличны от нуля лишь амплитуды
М+ + + + — М____= .М+_+_ = — 16е4 In2 (co/m).
Мы видим, в частности, что в этом случае поляризация фотона при рассеянии не меняется.
') При переходе от da к а надо ввести множитель У2, учитывающий тождественность двух конечных фотонов.
2) К происхождению этой зависимости а от со мы еще вернемся
в конце § 134.
§ 127]
РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ
637
На рис. 24 изображен график зависимости полного сечения рассеяния от частоты (в логарифмической, по обеим осям, шкале). Сечение убывает в сторону как малых, так и больших частот и достигает максимума при h<o « 1,5тс2. Излом кривой при Йш = тс2 отражает изменение характера процес-са в связи с появлением возможности образования ^ реальной электронной пары. ? _3
Случай малых частот 10
В случае малых частот '
(со -С т) амплитуду рассеяния фотона на фотоне мож- Ьи/тс’
но получить также и совсем Рис. 24
иным способом, исходя из
поправочных членов в функции Лагранжа слабого электромагнитного поля (см. ниже, § 129).
Малая поправка к гамильтониану взаимодействия V' отличается лишь знаком от малой поправки к лагранжиану. Согласно (129,21) имеем
V' = -
45 • 8л2т4
Поскольку этот оператор — четвертого порядка по полю, он имеет матричные элементы для интересующего нас перехода уже в первом приближении.
Для вычисления надо подставить в (127,26)
дА
dt
Е =---------^т-, Н = rot А,
А = V*" Е
к К
(127,27)
(X — номер поляризации), после чего элемент S-матрицы вычисляется как
SH = -i(f\\v'dt\ t) = - i (О I СкЛскД) 5 V' dtc+Ac+h I 0) (127,28)
(ср. § 72, 77). При нормировке А, как в (127,27), амплитуда рассеяния Мц непосредственно определяется по S;i согласно
Sfl = i (2я)4 6И) (k3 + б4 - 6, - k2) Мц
(127,29)
(ср. § 64). Среднее значение в (127,28) вычисляется по теореме Вика с помощью (77,3), причем свертывать надо, разумеется, только «внешние» операторы 6к1, сс внутренними А.
638
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
(ГЛ. XII
§ 128. Когерентное рассеяние фотона в поле ядра
Другими (наряду с рассеянием фотона на фотоне) нелинейными эффектами, описывающимися квадратными диаграммами вида (127,1), являются распад одного фотона во внешнем поле на два фотона (и обратный процесс «слияния» двух фотонов в один) и рассеяние фотона во внешнем поле. Первому процессу отвечают диаграммы, в которых один из четырех внешних фотонных концов заменен линией внешнего поля. Второму же процессу отвечают диаграммы с двумя внешними линиями реальных и двумя — виртуальных фотонов.
К последней категории относится, в частности, когерентное г(упругое) рассеяние фотона в постоянном электрическом поле неподвижного ядра. В общем случае вычисления приводят к очень громоздким формулам (содержащим кратные квадратуры)1). Мы ограничимся здесь лишь некоторыми оценками.
В силу требований калибровочной инвариантности амплитуда рассеяния при со->-0 должна содержать произведения компонент 4-импульса начального (k) и конечного (k') фотонов (подобно тому как разложение амплитуды рассеяния фотона на фотоне начинается с четверных произведений компонент 4-импульсов всех фотонов). Другими словами, амплитуда рассеяния фотона малой частоты пропорциональна со2. Учитывая также, что эта амплитуда содержит внешнее поле (поле ядра с зарядом Ze) во втором порядке, заключаем, что сечение рассеяния
da ~ Z4a4r^ j do, со < т. (128,1)
Зависимость от частоты находится, разумеется, в соответствии с общими заключениями § 59.
