Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Преобразуем теперь интеграл (126,10), выбрав квадраты 12\, й, ... в качестве новых переменных интегрирования (вместо четырех компонент q). Имеем
^L-2l
dq* ^.....
поэтому якобиан преобразования
а (t2, i% /2, /2)
д (<?°, qx, Яу, Яг)
16D,
где D — определитель, составленный из 16 компонент 4-векторов U, 12, /3, U. Интегрирование в (126,10) сводится просто к замене функций В и D в подынтегральном выражении их значе-
ниями при 2)
/2 = /2 =/2 = /2 = т2. (126,13)
Из условий 12 = 12 = т2 получаем, как и в § 115,
<7° = ю, q2 = co2-m2. (126,14)
Остальные два условия дают
(q — k4)2 — т2 — — 2 qk4 = — 2со2 — 2qk' — 0,
(q — k2)2 — m2 = — 2co2 — 2qk = 0,
так что
qk = qk' = — s/4,
!) При ^ > 0: (k — k')2 < 0, т. e. вектор k — k' мнимый. Это затруднение, однако, легко обойти, раскрыв все векторные выражения при t < 0 и произведя затем аналитическое продолжение к ОО.
2) Такой способ интегрирования автоматически учитывает лишь по одному из'нулей аргументов б-функций.
§ 126) ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ 627
или в компонентах:
<7° = (о, qx = -2jsS+1y, Qy = 0,
- * Г* ' Г- <126’16)
Таким образом, интеграл (126,10) равен
а2(*, (-/в)> <126>16)
где суммирование производится по двум значениям q из
(126,15).
Определитель D можно записать с помощью единичного ан-тисимметричного тензора:
D — е^ЛЖ — — if'klkikl —
= - W (<7 - kifiki - кхУ(к2 - k{fk\
(при преобразованиях использована антисимметрия е^р0). Заметив, что из четырех множителей временную компоненту имеет только ku находим
?>=-(oq [(k-fkO(k-k')].
Раскрыв это выражение при i < 0 и затем продолжив к t > 0, получим
D— — щг Vs -+- / V ~ t —> ± -j- {s/ [s/ — 4m2(s + /)] У,г• (126,17)
Выбор знака в этом выражении можно произвести на основании следующих соображений. Положим для простоты В — 1. Тогда видно, что в физической области (s >0, t <С 0) имеем <4h(s, t) <С 0. Действительно, оба знаменателя в подынтегральном выражении в (126,6) имеют одинаковый (отрицательный) знак:
(<7 ~ к4)2 — т2 = — 2со2 — 2qk' < — 2to (to — | q |) < 0,
(q — k2)2 — tn2 — — 2to2 — 2qk < — 2co (со — | q |) < 0
''(здесь использовано, что, в силу наличия двух б-функций в числителе, имеет место (126,14) и потому jqjCto)1). Йз (126,7) видно тогда, что отрицательна должна быть и функция /42(s, t)\ при s > 0, t > 0 (если учесть, что, согласно (126,16), эта функ-
’) Разумеете^ это не случайно. Отрицательность Л is в действительности следует из условия унитарности, что особенно ясно при t = 0, когда определяет полное сечение,
628
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII!
ция знакопостоянна). Это значит, что в (126,17) надо выбрать верхний знак, так что окончательно
Ао = - я4—-------------------л-. (126,18)
{s/ [s/ — 4m2 (s + i)] }1г
Так как по своему смыслу функция A2(s, t) должна быть вещественна, то кроме положительности s и / имеется еще условие положительности выражения в квадратных скобках в знаменателе:
st — 4m2 (s + /) > 0, s > О, / > 0. (126,19)
Эти неравенства определяют область, по которой должно производиться интегрирование в двойном дисперсионном интеграле
(126.8) (заштрихована на рис. 23). Ее границей является кривая
st — 4m2 (s -f1) = 0
с асимптотами s = 4т2 и / = 4т2.
Дисперсионные соотношения в форме (126,5) и (126,8) еще не учитывают условий перенормировки, и при буквальном их
применении интегралы оказались бы расходящимися и требовали бы регуляризации. Условие перенормировки для амплитуд М (s, t) заключается в требовании
М(0, 0) = 0. (126,20)
Действительно, амплитуда рассеяния фотона на фотоне должна обращаться в нуль, когда ki — k2 = = ka = = 0 (а потому hs = / =
= 0), поскольку k = 0 означает постоянный во времени и пространстве потенциал, которому не отвечает никакое физическое поле (мы еще обсудим это условие более детально в следующем параграфе).
Для автоматического учета этого условия надо написать дисперсионное соотношение «с вычитанием» (подобно переходу от
(111.8) к (111,13)). Мы придем к такому соотношению естественным образом, произведя сначала тождественное преобразование соотношения (126,8) с помощью тождества
§ 126] ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ 623
Подставив его в подынтегральное выражение в (126,8), получим
Л— 8* [[ A2(s',t')ds'dt' S f f(s')ds' ,
M(S, t) - ^ (-,---s) {t,-_ t) s4r + - J T-_z-s) g, +
i t С g(t')dt' , „ + я J (t'-t)t' + C’
где
с=тИ5А7Г1<г’'Л'-
Последние равенства, однако, имели бы смысл лишь при условии сходимости всех интегралов. В противном же случае функциям f(s), g(t) и постоянной С должны быть предписаны заранее заданные значения, соответствующие условию перенормировки. Именно надо положить
С = 0, f(s) = Als(s, 0), g{t) = Au{Q,t),
где Ац — мнимая часть M(s, t), появляющаяся при увеличении t при заданном малом s, подобно тому как A\s— мнимая часть, появляющаяся при увеличении s при заданном малом t. Первое из этих равенств очевидно: С = М(0,0) = 0. Второе (и аналогичным образом третье) следует из сравнения равенства
М
с однократным дисперсионным соотношением (126,5), написанным «с вычитанием», отвечающим условию (126,20):
