Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(32,7)—в виде произведения
(129,12)
о
о
§ 129] ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 645
где %ла(у)~— волновая функция в магнитном поле при Е = 0 и рг = 0, то масса т и поле Я войдут в уравнение для i|)e(2) лишь в комбинации
т2 + I е | Я (2п + 1 + а).
Если теперь учесть, что суммирование по рх (от которого уровни энергии не зависят) по-прежнему дает множитель |е|Я/2л, то из соображений размерности величину
Ф(Н,Е) = ^г
можно записать в виде
F ( т2 + 1 е 1 Н (2я + 1 + о) \
(ын F) у V _v_______________________L —
ч>ул, с.)— 8n2 2_, Zj т2 + \е\Н(2п+\+а) ~
п=0а=±1
Г a, F ( 1+2Ьп ] )
----15-|Чт)+2Е Атаг2]' — ¦(|29.|4>
(каждый член этой суммы есть производная —(Ре!-*/(dm2)2, просуммированная по всем квантовым числам, кроме п). Здесь F—неизвестная пока функция, которую мы найдем из соображений релятивистской инвариантности.
Действительно, Ф должно быть функцией скаляров Я2 — Е2 и (ЕН)2 =(ЕН)2:
Ф(Я, E) = f (Я2 — Е2, (ЕН)2).
Поэтому
Ф (0, E) = f (— Е2, 0) = Ф (iE, 0).
Но функция ф(г'?, 0) получается из (129,11) заменой Я после переобозначения переменной интегрирования найдем
ОО
Ф (iE, 0) = -gij- ^ е~^а ctg r\ dr\. (129,15)
о
Сравнив это выражение с пределом Ф(Я->0, Е), вычисленным из (129,14), мы сможем найти функцию F.
Переход к пределу Я-»-0 в (129,14) производится путем замены суммирования по п интегрированием по dn = dx/2b:
ф(0. Я)=--8Й р(1^)ттг — -ш S *129-|в)
0 1/а
646
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
ГГЛ. хп
Приравняв выражения (129,15) и (129,16) и продифференцировав это равенство по 1/а = г, получим
После этого суммирование в (129,14) снова сводится к суммированию геометрической прогрессии, и дальнейшие вычисления аналогичны произведенным выше: выражаем Ф через т2, Е и //, интегрируем дважды по т2, вычитаем значение при Е — Н = 0 и определяем постоянные интегрирования, как при выводе (129,13). Окончательный результат1):
г ^ -^г- {— (ца ctg r\a) (тф cth хф) + 1 — (а2 — 62)} d%
Параметры а и Ь можно записать в инвариантном виде
^-==-1-(Н2-Е2), ^ = ЕН, Т±13 = ±(Н±/Е)2. (129,19)
После того как формула (129,17) выражена через инварианты У и она тем самым становится применимой в произвольной системе отсчета (а не только в той, где Е||Н).
Сразу же отметим несколько условный характер записи формулы (129,17). Она пригодна лишь при соблюдении условия малости электрического поля: а <С 1 (129,3) (не учтенного в
(129,17) в явно» виде). Это проявляется в том, что подынтегральное выражение в (129,17) имеет полюсы при т] = тт/а (п — 1, 2, ...), так что в написанном виде интеграл, строго говоря, не имеет смысла. Поэтому (129,17) может, по существу, служить лишь для получения членов асимптотического (см.
оо
О
О
(129,17)
Ь
а = - -lLeL {(?" + &)Х12 -(S' ~
-1/9 /и2
¦у 2 т
(129,18)
где ЗГ и ^ обозначают инварианты
*) Этот результат был впервые получен Гейзенбергом и Эйлером (W. Heisenberg, Н. Euler, 1935). В изложенных вычислениях использованы также идеи вывода, предложенного Вайскопфом (К Weisskopf, 1936).
4 129] ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 647
ниже) ряда по степеням а путем формального разложения ctg а.
Математически интегралу (129,17) можно придать смысл, обходя полюсы в плоскости комплексного г]. При этом у L', а тем самым и у плотности энергии W' появляется мнимая часть. Комплексность энергии, как обычно, означает квазистационарность состояния1). В данном случае стационарность нарушается рождением пар, а величина —2 Im W' есть вероятность до рождения пары в единице объема в единицу времени; так как малые добавки к W и L отличаются только знаком, вероятность до, выраженная через Е и Н, равна просто
Очевидно, что она пропорциональна <?~л/а (см. ниже (129,22)). Именно вследствие экспоненциальной малости Im W' при а -С 1 имеет смысл асимптотический ряд по степеням а с сохранением в нем любого конечного числа членов.
Рассмотрим предельные случаи формулы (129,17). В слабых полях (а <С 1, b -С 1) первые члены разложения:
В частности, при b — 0 относительная поправка
L' _ а2 L0 ~ а 45я'
Мнимая часть L' при а -С 1 получается из интеграла (129,17) взятием полувычета в ближайшем к нулю полюсе котангенса, т. е. при ца — я — ДО. Согласно (129,20) она дает вероятность рождения пары слабым электрическим полем:
В сильном магнитном поле (а = 0, b 1) исходим из формулы (129,13), записанной (после замены br]^Ti) в виде
до = 2 Im L'.
(129,20)
тА (а2 — Ь2)2 + 7 (ab)’
е‘
(45г2 + 7S2). (129,21)
45 • 8я2т4
w = -р~з- а2е~п!а, 4nJ
«ли, в обычных единицах:
оо
,, т*Ьг Г в Г 1 — 8я2 J г] [f
]d4.
о
]) Направление обхода в интеграле должно быть выбрано так, чтобы было Im W < 0. Этому требованию отвечает обычное правило замены массы т2-»-т2—f0 (в данном случае а-*-а + Ю).
648 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ (ГЛ. XII
При Ъ 1 в этом интеграле существенна область 1 -С л -С Ь. В ней e~^/b « 1, и можно пренебречь вторым членом в скобках, а интеграл обрезать (с логарифмической точностью) на пределах т) » 1 и т) » 6. Тогда
ь'=1Щг[пЬ (129’23>
(более точное вычисление заменяет In Ъ на In b — 2,29). В этом случае
